Thích Học Toán

Đọc lại bài Quay quanh mặt trời viết từ một năm trước, so với mấy truyện buồn buồn sến sến viết gần đây, phát hiện ra rằng các nơ ron trào lộng trong sọ mình có vẻ bị tắt hết từ lúc nào. Khi ta không còn thấy thích đùa, là lúc ta bắt đầu già. Nghĩ mà thấy ghen tị với bạn Cụ Hinh và bạn 5xu. Hai bạn này trông bên ngoài thì nhăn nheo hơn mình, nhưng trong lòng vẫn là cả một khối thanh xuân phơi phới. Không biết các bạn ấy ăn gì mà tốt cây thế, hehe.

Nói nhảm chỉ để thông báo rằng những bài sắp xuất hiện trong mục Toán sẽ khô như ngói, và chỉ phục vụ các bạn đang làm toán hoặc đang học toán. Các bạn không thuộc hai phạm trù này thì dừng đọc ở đây nhé.

****

Nếu là hai nhóm con của một nhóm , thì có một tương ứng 1-1 giữa tập các lớp kề đúp và tập các quĩ đạo của nhóm tác động đồng thời lên . Đây là một mệnh đề tổng quát và khá tầm thường mà bạn có thể tìm thấy trong bất kỳ quyển sách nào về lý thuyết nhóm đại cương. Theo một nghĩa nào đó, vế trái có ưu điểm tiết kiệm ngôn ngữ vì nhóm chỉ dùng một lần ; tuy thế nó hơi thiếu tính trực quan vì thật ra rất khó hình dung cụ thể một lớp kề đúp là cái gì. Vế phải thì ngược lại. Phần tử của các không gian thuần nhất và thường tương ứng với những đối tượng mang ý nghĩa hình học. Quĩ đạo theo tác động đồng thời của lên tương ứng với vị trí tương đối giữa hai đối tượng đó.

Ví dụ 1. Cho là một không gian vec tơ hai chiều trên một trường . Các không gian con một chiều gọi là các đường thẳng. Tập các đường thẳng tạo thành đường thẳng xạ ảnh trên trường . Nhóm tuyến tính tác động lên và lên tập các đường thẳng trong một cách bắc cầu. Nhóm ổn định tại đường thẳng qui chiếu là nhóm các ma trận tam giác trên cho nên . Tác động đông thời của lên cặp hai điểm với chỉ có hai quĩ đạo xác định bởi điều kiện hoặc . Tức là chỉ có hai vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong . Trong ngôn ngữ của lý thuyết nhóm, phân rã thành hai lớp kề đúp với là ma trận hoán vị.

Ví dụ 2. Mở rộng ví dụ ở trên cho hai không gian vec tơ con biến thiên trong một không gian vec tơ hữu hạn chiều cố định . Vị trí tương đối giữa và cho bởi chiều của giao .

Ví dụ 3. Một cái cờ trong không gian vec tơ chiều là một chuỗi các không gian con lồng nhau với . Nhóm tác động bắc cầu lên tập các cờ và nhóm con ổn định của cờ qui chiếu là nhóm các ma trận tam giác trên . Vì thế, không gian các cờ là không gian thuần nhất .

Vị trí tương đối giữa hai cái cờ như vậy được cho bởi một hoán vị của tập . Điểm đáng lưu ý ở đây là trong trường hợp này tập các vị trí tương đối tạo thành một nhóm hữu hạn là nhóm đối xứng. Trong ngôn ngữ của lý thuyết nhóm ta có phân rã với là ma trận hoán vị tương ứng với mỗi phần tử của nhóm đối xứng cấp . Đây một cấu trúc quan trọng trong lý thuyết nhóm Lie, gọi là phân rã Bruhat. Nó đúng cho mọi nhóm rút (reductive) và với tập vị trí tương đối là nhóm Weyl, một dạng tổng quát của nhóm đối xứng.

Ví dụ 4. Cho là không gian vec tơ chiều trên trường . Lưới trong lầ một -mo-đun con có hạng bằng . Nhóm tác động bắc cầu lên tập các lưới, nhóm con ổn định của lưới qui chiếu là . Vì thế tập các lưới là không gian thuần nhất . Theo định lý các ước sơ cấp (theorem of elementary divisors), vị trí tương đối giữa hai lưới được cho bởi một dãy số nguyên giảm . Trong ngôn ngữ nhóm phân rã thành hợp các lớp kề đúp với là ma trận đường chéo cho bởi . Đây gọi là phân rã Cartan mặc dù ông Cartan chưa chắc đã biết số p-adic là số gì.

Tuy việc mô tả các vị trí tương đối thực chất là bài toán đại số tuyến tính sơ cấp và dễ, chúng phản ánh những cấu trúc quan trọng của nhóm Lie thực và nhóm Lie p-adic. Đây là tiền đề cho nhiều định lý quan trọng về tô-pô của nhóm Lie cũng như về các biểu diễn của chúng.