Thích Học Toán

Tăng xờ toàn tập

with 4 comments

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên một trường k. Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian V\otimes_k V' các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một k-không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}. Ta ký hiệu nó là k^{V\times V'}. Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng \alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n) với các vô hướng \alpha_i\in k. Sau đó, ta xét không gian con W của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng (v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2), (v,\alpha v')-\alpha (v,v') và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí vv'. Ta đặt V\otimes_k V' là không gian vec-tơ thương của k^{V\times V'} chia cho không gian con W.

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ (v,v') trong V\otimes V'v\otimes v'. Các vec-tơ v\otimes v' lập thành một hệ sinh của V\otimes V' nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của W trong V\otimes V' bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính  v\otimes(v'_1+v'_2)-v\otimes v'_1-v \otimes v'_2=0v\otimes (\alpha v') -\alpha (v\otimes v')=0 và các quan hệ tương tự khi vv' trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng V\otimes V' với các vec-tơ v\otimes v' làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Xây dựng theo phong cách phổ dụng bao giờ cũng cồng kềnh. Trong thực tế, ta chọn một cơ sở \{v_i | i\in I\} của V, một cơ sở \{v'_j |j\in J\} của V'. Khi đó V\otimes_k V'k-không gian vec-tơ có cơ sở là \{v_i \otimes v'_j | i \in I, j\in J \}. Nếu V có chiều là d, V' có chiều là d' thì V\otimes V' có chiều là  d d'. Cách hiểu này giúp ta hình dung không gian tăng xờ một cách cụ thể hơn hẳn, không cần phải đánh võng qua không gian vec-tơ vô hạn chiều k^{V\times V'} nữa.

Câu chuyện có thể được kể lại từ góc độ của lý thuyết biểu diễn. Ta đã xây dựng một số biểu diễn của nhóm các biến đổi tuyến tính GL(V) tức là nhóm GL_d lên không gian vec-tơ các tăng xờ đối xứng và không gian vec-tơ các tăng xờ ngoài. Câu chuyện này tiếp diễn vui lắm. Thay vì biểu diễn tầm thường và biểu diễn dấu của nhóm các hoán vị, ta có thể sử dụng bất kỳ biểu diễn bất khả qui nào của nhóm này để xây dựng biểu diễn nhóm tuyến tính. Cái mẹo này gọi là đối ngẫu Schur-Weyl. Nó chó phép ta xây dựng tất cả cá biểu diễn hữu hạn chiêù của nhóm tuyến tính {\rm GL}_d(\mathbb C). Bạn hãy tìm đọc quyển Representation theory của Fulton và Harris để tìm hiểu thêm về chủ đề này. Đây là quyển sách mà ai bắt đầu học lý thuyết biểu cũng nên đọc.

Tăng xờ (2)

Ta đã đề cập đến chuyện tích tăng xờ là lời giải cho một bài toán phổ dụng, nhưng không nói rõ là bài nào. Vậy bây giờ đay lại một chút cho rõ :

Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên trương k. Trong số các ánh xạ song tuyến tính b:V\times V' \to W lấy giá trị trong một không gian vec-tơ W, tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính nguyên thủy b_0 :V\times V' \to V\otimes V'. Nguyên thủy (initial) có nghĩa là với mọi b như ở trên, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính w: V\otimes V' \to W sao cho b=w \circ b_0. Ánh xạ song tuyến tính nguyên thủy b_0 là nhân vật mà ta ký hiệu phiên trước là (v,v')\mapsto v\otimes v'.

Tương tự như vậy, tích tăng xờ đối xứng V\times V\to S^2 V là ánh xạ nguyên thủy trong số các ánh xạ song tuyến tính đối xứng  b:V\times V\to W. Đối xứng có nghĩa là thỏa mãn b(v,v')=b(v',v). Dạng nguyên thủy này được ký hiệu là (v,v') \mapsto vv' \in S^2 V.

Cũng tương tự như vậy, tích tăng xờ phản xứng V\times V\to \bigwedge^2 V là dạng nguyên thủy trong số các dạng song tuyến tính phản xứng  b:V\times V\to W. Phản xứng có nghĩa là thỏa mãn b(v,v')=-b(v',v). Dạng nguyên thủy này được ký hiệu là (v,v') \mapsto v\wedge v' \in \bigwedge^2 V.

Suy rộng ra ta có định nghĩa phổ dụng cho  V^{\otimes n}, S^n V\bigwedge^n V.

Khai thác tính phổ dụng trên, ta xây dựng được cấu trúc nhân phân bậc trên đại số tăng sờ đối xứng \bigoplus_n S^n V và đại số tăng sờ phản xứng \bigwedge V=\bigoplus_n \bigwedge^n V.Trong trường hợp phản xứng, với mọi m,n ta có một dạng song tuyến tính chính tắc

\bigwedge^n V \times \bigwedge^{n'} V \to \bigwedge^{n+n'} V.

Với mọi w\in \bigwedge^n V, w'\in\bigwedge^{n'} V, ảnh của nó trong \bigwedge^{n+n'} V được ký hiệu là w\wedge w'. Anh xạ  (w,w') \mapsto w\wedge w' là một biến đổi tự nhiên. Với mọi ánh xạ tuyến tính g:V\to V ta có công thức

(\bigwedge^n g) w \wedge (\bigwedge^{n'} g) w' = (\bigwedge^{n+n'} g)(w \wedge w').

Trông vậy mà công thức này không hiển nhiên như bạn nghĩ đâu nhé. Ký hiệu chiều của Vd, lấy n=1, n'=d-1. Ở vế bên phải \bigwedge^{d}(g)=\det(g). Chịu khó biểu diễn tường minh vế bên trái dưới dạng ma trận, bạn sẽ tìm lại được một trong những công thức đẹp nhất trong đại số tuyến tính, đó là công thức Cramer.

Công thức Cramer cho nghịch đảo ma trận vuông thường không được chứng minh trong chương trình đại số tuyến tính đại cương. Bây giờ bạn biết bí kíp của nó rồi nhé : cần nhanh tay tăng xờ ngoài.

Tìm vết

Năng khiếu sư phạm của bần đạo rất khiêm tốn. Ý định ban đầu là dùng thuật tăng xờ để giải thích cho bạn một số công thức thường không được chứng minh trong đại số tuyến tính. Ngẫm lại hóa ra mình lại giải thích theo thứ tự từ khó đến dễ : Tăng xờ (1) diễn giải công thức Cauchy-Binet mà chắc không mấy ai biết, Tăng xờ (2) diễn giải công thức Cramer ai cũng biết nhưng chứng minh thì không dễ. Ở bài này ta sẽ đề cập đến một khái niệm ai cũng biết, ai cũng có vẻ hiểu. Đó là vết.

Cho f:V \to V  là một tự đồng cấu của một không gian vec tơ hữu hạn chiều V trên trường k. Nếu chọn một có sở của V và biểu diễn f bằng một ma trận vuông theo cơ sở đó thì vết của nó tr(f) là tổng các hệ số xuất hiện trên đường chéo. Cái định nghĩa trông ngon ăn, nhưng nó không giải thích tại sao vết chỉ phụ thuộc vào f chứ không phụ thuộc vào có sở. Nói cách khác, tại sao vết là một bất biến của f.

Có thể tìm được vết với nghệ thuật tăng xờ.  Nhưng ở đây tăng xờ phải vươn lên mức độ nghệ thuật.

Trên V\otimes V^* ta có một dạng tuyến tính chuẩn tắc ev:V\otimes V^* \to k, gọi là dạng định trị. Nó gửi mỗi vec tơ có dạng v\otimes v^* với v\in Vv^* \in V^* lên vô hướng v^*(v) \in k.  Đối ngẫu của dạng định trị ev:V\otimes V^* \to k là ánh xạ tuyến tính tr:k\to V\otimes V^* gọi là ánh xạ vết.

Với mỗi ánh xạ tuyến tính f:V \to V ta có thể xây dựng một chuỗi hợp thành như sau. Xuất phát với vết tr: k\to V\otimes V^*, tiếp tục với f\otimes {\rm id}_{V^*}: V\otimes V^* \to V\otimes V^* và cuối cùng hợp thành với định trị ev: V\otimes V^* \to k. Đi một lèo, xuất phát từ 1\in k ta hạ cánh xuống vô hương ký hiệu là tr(f)\in k.

Chọn một có sở v_1,\ldots,v_d của V, ta sẽ có cơ sở đối ngẫu v_1^*,\ldots,v_d^* của V^*. Dạng định trị cho bởi công thức ev(v_i \otimes v_j^*)=\delta_{ij} với \delta_{ij} là ký hiệu của Kronecker : bằng một nếu i=j và bằng không nếu $i\not=j$. Đỗi ngẫu của ev hiển nhiên là tr=v_1\otimes v_1^*+\cdots+v_d\otimes v_d^*. Từ đó ta hiểu tại sao định nghĩa vết ở trên  trùng với việc lấy tổng các hệ số trên đường chéo của ma trận vuông.

Các bất biến khác của ftr(\bigwedge^n V) vết của ánh xạ cảm sinh bởi f trên không gian các tăng xờ ngoài cấp n. Khi cho n chạy từ 1 đến d, ta lập được một hệ đầy đủ các bất biến của f. Đây chỉ là một biến thể của lý thuyết đa thức đối xứng. Sẽ quay lại bàn kỹ về chuyện này sau.

Lưu ý một điểm thú vị nữa là trong trường hợp f là ánh xạ đồng nhất id, ta có tr(f)=\dim (V). Vì vậy do chịu khó bới lông mà ta tìm ra chiều của một không gian vec tơ, chỉ do khéo tăng xờ chứ không cần chọn cơ sở. Đấy là cách người ta định nghĩa chiều của một đối tượng trong phạm trù  Tannaka. Đối tượng không còn cơ sở nữa, nhưng vì Tannaka mà nó vẫn thỏa thích tăng xờ và đối ngẫu.

Nhưng không phải tăng sờ các bạn Mắc Cụt và Nhị Linh hay mơ, mà là một khái niệm trong đại số
tuyến tính. Thực ra, bí quyết của đại số hiện đại có thể đơn gian là tăng sờ cho thành thạo. Hôm nay,
bần đạo giới thiệu khái niệm tăng sờ trong và tăng sờ ngoài cho các bạn thưởng thức.
Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên một trường k. Khi đó ta có thể xây dựng không
gian V\otimes_k V' các tăng sờ như thế này. Trước hết ta xây dựng một k-không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở bao gồm là tích trực tiếp V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}. Ta ký hiệu nó là k^{V\times V'}. Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng
\alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n) với vô hướng \alpha\in k. Sau đó ta xét không gian con W của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng (v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2), (v,\alpha v')-\alpha (v,v') và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí vv'. Ta đặt V\otimes_k V' là không gian vec-tơ thương của k^{V\times V'} chia cho không gian con W.
Xây dựng trên cồng kềnh quá. Trong thực tế, ta chọn một cơ sở \{v_i | i\in I\} của V, một cơ sở \{v'_j |j\in J\ } của V'. Khi đó V\otimes_k V'k-không gian vec-tơ có cơ sở là \{v_i \otimes v'_j \}. Nếu V có chiều là d, V' có chiều là d' thì V\otimes V' có chiều là  d d'. Cách hiểu này cho phép ta hình dung không gian tăng sờ một cách cụ thể hơn hẳn, ta không phải đánh võng qua không gian vec-tơ vô hạn chiều k^{V\times V'} nữa.
Vậy tại sao, người ta cứ nhất thiết đánh võng qua không gian vô hạn chiều trong việc xây dựng không gian tăng sờ. Lý do là vì, ta cần một xây dựng chính tắc, nói cách khác là xây dựng không sử dụng cơ sở của VV'.  Chính tắc thì có lợi gì ? Cái lợi hại vô cùng là không gian tăng sờ là một hàm tử trên biến VV'.
Ta cần một vài ví dụ để minh họa cái lợi của tính hàm tử. Xét trường hợp V=V'. Khi đó ta có hàm tử tăng sờ cấp hai V\mapsto V\otimes V. Ta có một biến đổi tự nhiên s của hàm tử này cho bởi qui tắc s : v_1 \otimes v_2 \mapsto v_2 \otimes v_1. Nếu đặc số cua trường k lớn hơn hai, không gian vec-tơ tăng sờ bậc hai V\otimes V khai triển được thành tổng trực tiếp
V\otimes V= S^2 V \oplus \wedge^2 V
ở đây $S^2 V$ là không gian con các tăng sờ w in V\otimes V sao cho $s(w)=w$ còn gọi là các tăng sờ đối xứng còn $\bigwedge^2 V$ là không  con các tăng sờ w in V\otimes V sao cho $s(w)=-w$ còn gọi là các tăng sờ phản xứng.
Tự nhiên ta có hai hàm tử, một là hàm tử tăng sờ đối xứng cấp hai V\mapsto S^2 V hai là tăng sờ phản xứng cấp hai V \mapsto \bigwedge^2 V.
Trong thực tế, ta chọn một cơ sở v_1,\ldots,v_d của V. Khi đó v_i \otimes v_j
là một cơ sở của V\otimes V. Các vec-tơ v_i \otimes v_j +v_j\otimes v_i tạo thành một cơ sở của S^2 V còn các vec-tơ v_i\otimes v_j -v_j\otimes v_i tạo thành một cơ sở của
\bigwedge^2 V. Có nhiều lý do để ký hiệu lại cơ sở của S^2 V thành
v_i v_j=v_j v_i  =(v_i\otimes v_j +v_j v_i)/2 và ký hiệu lại cơ sở của \bigwedge^2 V thành
v_i \wedge v_j=- v_j \wedge v_j =(v_i \otimes v_j - v_j\otimes v_i) /2. Đếm số vec-tơ trong cơ sở ta thấy chiều của S^2 V bằng $ latex d (d+1)/2$ còn chiều của \bigwedge^2 V bằng $ latex d(d-1)/2$.
Tương tự như vậy, với mọi số tự nhiên n, ta có không gian tăng sờ cấp nV^{\otimes n}=V\otimes \cdots \otimes V tất cả n lần. Nhóm hoán vị S_n tác động lên bằng cách gửi tăng sờ v_1\otimes \cdots v_n lên  v_{s(1)}\otimes\cdots \otimes v_{s(n)} với mọi
hoán vị s\in S_n. Giả sử k là trường có đặc số không, khi đó không gian các tăng sờ đối xứng cấp n là không gian con các tăng sờ w\in V^{\otimes n} sao cho s(w)=w. Các tăng sờ phản xứng là các w \in V^{\otimes n} sao cho s(w)=\epsilon (s) w với $ latex
\epsilon (s)$ là dấu của hoán vị s định nghĩa trong bài Dấu và độ dài của hoán vị.
Trong trường hợp k là trường có đăc số tùy ý, nhưng lớn hơn hai, ta phải định nghĩa S^n V như là thương của V^{\otimes n} chia cho không gian con sinh bởi các vec-tơ có dạng w-s(w) và định nghĩa \bigwedge ^n V như là thương của V^{\otimes n} chia cho không gian con sinh bởi các vec-tơ có dạng w-s(w). Trong mọi trường hợp, V\mapsto S^n V
V\mapsto \bigwedge^n V là hàm tử hiệp biến.
Nếu v_1,\ldots, v_d là cư sở của V, khi đó ta có một cơ sở của S^n V ở dạng
v_1^{n_1} \ldots v_n^{n_d} với n_1,\ldots,n_d là cá số nguyên không âm thỏa mãn
n_1+\cdots+n_d=n. Lấy tổng trực tiếp vô hạn SV= k\oplus V \oplus S^2 V \oplus S^3 V \oplus \cdots ta có một vành đa thức, với thành phấn S^n V bao gồm các đa thức thuần nhất bậc n.
Tương tự như vậy, ta có có sở của \bigwedge^n V bao gồm các vec-tơ ở dạng
v_{i_1} \wedge \cdots \wedge v_{i_n} với i_1 < i_2 < \cdots < i_n là một dãy số nguyên
tăng chặt nămg trong \{1,\ldots,n\}. Như vậy $\bigwedge^n V= 0$ nếu n>d vì không có dãy số nguyên sẽ có nhiều hơn d phần tử và trong trường hợp n=d, chỉ có đúng một dãy như vậy cho nên {\rm dim} (\bigwedge ^d V)=1. Tổng trực tiếp
\bigwedge V= k \oplus V\oplus \bigwedge^2 V \oplus \cdots \oplus \bigwedge^d V là một đại số không giao hoán gọi là đại số Grassman, hay còn gọi là đại số tăng sờ ngoài.
Cho g:V\to V là một biến đổi tuyến tính. Do tính hàm tử của tăng sờ trong và tăng sờ ngoài, ta có biến đổi tuyến tính S^n(g) của latex S^n V$ và \bigwedge^n(g) của \bigwedge^n(g)
của \bigwedge^n (V). Tính hàm tử cung cấp miễn phí cho ta các đẳng thức S^n(gg')=S^n(g) S^n(g')\bigwedge^n(gg')=\bigwedge^n(g)\bigwedge^n(g').
Các đẳng thức tăng sờ này mà thử chứng minh bằng tay thì khó đấy. Cái đẳng thức tăng sờ ngoài còn được biết đến như định lý Cauchy-Binet. Trong trường hợp $n=d$, vì \bigwedge ^d V có chiều bằng một, \bigwedge^d(g) là một vô hướng {\rm det}(g)\in k. Khi đó ta có công thức định thức mà bạn Hoài Minh rất thích {\rm det}(gg')={\rm det}(g) {\rm det}(g').
Ta có thể nhìn câu chuyện trên từ con mắt lý thuyết bieu diễn. Ta đã xây dựng
một số biểu diễn của nhóm các biến đổi tuyến tính GL(V) tức là nhóm GL_d lên
không gian vec-tơ các tăng sờ đối xứng và không gian vec-tơ các tăng sờ ngoài. Câu chuyện này tiếp
diễn vui lắm. Thay băng biểu diễn tầm thường và biểu diễn dấu của nhóm các hoán vị, ta có thể sử dụng bất kỳ biểu diễn bất khả qui nào của nhóm này để xây dựng biểu diễn nhóm tuyến tính. Cái mẹo này gọi là
đối ngẫu Schur-Weyl. Nó chó phép ta xây dựng tất cả cá biểu diễn hữu hạn chiêù của {\rm GL}_n(\mathbb C). Bạn tìm đọc quyển Representation theory của Fulton và Harris để tìm hiểu thêm
về chủ đề này.
Advertisements

Written by thichhoctoan

15/11/2011 lúc 02:35

Posted in Toán

Tagged with , ,

4 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Hê, ngày xưa được học toán anh Châu dậy, chắc không đến lỗi sợ chạy mất dép như bây giờ.

    thang

    20/11/2011 at 09:16

  2. giáo sư Châu ơi, nếu giáo sư có thể xuất bản bộ công trình ” thuyết tương đối ” của ông Einstein ( kể cả phép toán ten xơ gì đó mà em không rõ lắm ) trong đó có giải thích cụ thể tường tận trong 1 cuốn sách thì em cám ơn giáo sư lắm. Bởi tuy ông Einstein nổi tiếng khắp thế giới nhưng công trình của ổng thì ít người nắm rõ. Em rất hâm mộ giáo sư và được đọc công trình của 1 nhà bác học nổi tiếng trên thế giới của 1 giáo sư Việt Nam nổi tiếng thì quả là …………….. tiên trên trời

    jhdg

    26/11/2011 at 00:48

  3. Không rõ bên Tây họ dậy kiến thức về tensor như bài viết của Hòa thượng lúc nào nhỉ? Chứ ở VN, ví dụ ĐHSPHN, thì cũng chỉ dậy được … khái niệm tensor, cho nên tất yếu dẫn tới sinh viên Toán chẳng biết kỹ thuật dùng tensor cũng phải.

    thichthichiu

    23/12/2011 at 21:43

  4. Em cảm ơn thầy Châu vì bài viết hấp dẫn!

    Bùi Xuân Quang

    01/01/2012 at 13:30


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: