Thích Học Toán

Hai chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton

with 9 comments

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng a(t) của ma trận vuông x bậc n là định thức của ma trận t{\rm id}_n - x. Đây là một đa thức biến t có bậc bằng n

a= t^n -a_1 t^{n-1}+\cdots + (-1)^n a_n

với a_1=tr(x), a_2= tr(\wedge^2 x), … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, a là một đa thức có biến t với hệ số phụ thuộc vào  x.

Với định nghĩa như trên, ta có a(x)=0 với a(x) là ma trận có được khi ta thế x vào biến t.

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem x là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng x là ma trận với hệ số trong một trường k, chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu x là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho V là một không gian vec tơ n chiều trên trường k với e_1,\ldots,e_n là cơ sở. Cho M là mo đun tự do hạng n trên vành đa thức cũng với cơ sở là e_1,\ldots,e_n.  Bạn có V\subset M như không gian vec tơ con trên k chứ không phải như k[t]-mo đun vì bản thân V chưa được trang bị cấu trúc k[t]-mo đun.

Với mỗi ma trân vuông n cấp n với hệ số trong k, bạn xét ánh xạ k[t]-tuyến tính A từ M vào chính nó, cho bởi ma trận A= t{\rm id}_n-x. Bạn sẽ kiểm tra rằng A là đơn ánh. Hơn nữa, nếu chỉ xét cấu trúc không gian vec tơ trên k, bạn sẽ có

M= A(M) \oplus V

hoặc nói cách khác ánh xạ cảm sinh V \to M/ A(M) là song ánh.

Và như vậy, V nghiễm nhiên có thêm cấu trúc k[t]-mo đun mượn được của M/A(M). Cái đáng mừng ở đây là tác động của t lên V được cho bởi ma trận x. Cái bạn cần chứng minh là k[t]-mo đun V bị triệt tiêu bởi đa thức đặc trưng a=\det(A).

Xét ma trận A'=^\tau \wedge^{n-1} A, ma trận đối của ma trận vuông với hệ số là các minor bậc n-1 của A. Công thức Cramer nói rằng

A A'=a{\rm id}_n

Xét trên mô đun ta sẽ có

a M=(AA')M \subset A(M) \subset M.

Hiển nhiên a tiêu diệt M/aM cho nên cũng tiêu diệt luôn cả M/A(M) như Cayley và Hamilton vẫn hằng mong ước.

Ngoài việc thể hiện đẳng cấp của công thức Cramer, cái đáng lưu ý và đáng nhớ trong chứng minh này là mối liên hệ giữa ma trận x có hệ số trong k và mo đun xoắn trên vành đa thức k[t].

Chứng minh thứ hai : Vì bạn hoàn toàn có thể mở rộng trường k mà không ảnh hưởng đến kết luận của bài toán, nên bạn sẽ giả sử rằng k là một trường đóng đại số. Giả sử rằng các giá trị riêng \alpha_1,\ldots,\alpha_n của x là đôi một khác nhau, khi đó V sẽ có một sơ sở cho bởi các vec tơ riêng v_1,\ldots,v_n, ở đây x v_i=\alpha_i v_i. Các nghiệm của đa thức đặc trưng a chính là các giá trị riêng cho nên a(x) triệt tiêu từng vec tơ riêng, dẫn đến triệt tiêu cả không gian V.

Trong tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n, các ma trận với giá trị riêng đôi một khác nhau cấu thành một tập mở. Đây còn là một tập mở Zariski, nghĩa là xác định bởi điều kiện khác không của một số đa thức. Ma trận x có các giá trị riêng đôi một khác nhau khi và chỉ khi đa thức đặc trưng a và đạo hàm của nó a' không có nghiệm chung, hay nói cách khác kết thức R của aa' là khác không, tức là biệt thức của a khác không. Kết thức của aa' là một đa thức với biến số là các hệ số a_1,\ldots,a_n mà bản thân chúng là các hàm đa thức của biến x.

Gọi X là không gian tất cả các ma trận vuông cấp n. Bạn có một ánh xạ đại số X\to X cho bởi x\mapsto a(x). Nó bằng không trên tập mở Zariski X' của X cho bởi phương trình R\not= 0. Ta kết luận rằng a(x)=0 với mọi xX' là trù mật. Thực ra, mọi tập mở Zariski không rỗng trong một đa tạp đại số bất khả qui, đều có tính trù mật.

Như vậy cái điểm mấu chốt trong chứng minh này là tính bất khả qui của X. Tính bất khả qui của X suy ra từ tính chất của vành các hàm đại số trên X. Đây là một vành đa thức trên một trường cho nên nó là một miền (trong một domain, phương trình fg=0 kéo theo hoăc f=0 hoặc g=0).

Tuy lập luận trên dựa vào trực quan hình học về tính trù mật, nếu muốn, bạn hoàn toàn có thể diễn dịch lại nó bằng ngôn ngữ đại số thuần túy. Bản thân diễn giải này không có gì là hấp dẫn, nhưng nếu chịu khó suy nghĩ một chút bạn sẽ trả lời được câu hỏi rộng lớn hơn nhiều : ý nghĩa của tô pô Zariski là gì và nó dùng để làm gì ? Có lẽ đây là cái thú vị của chứng minh thứ hai, còn thì thực ra nó cồng kềnh và không được khéo léo như chứng minh thứ nhất.

Advertisements

Written by thichhoctoan

17/11/2011 lúc 04:07

Posted in Toán

Tagged with , , ,

9 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Góp vui với bác một chứng minh tổ hợp.

    NQH

    17/11/2011 at 13:08

  2. Thêm một chứng minh nữa: vì k[x] là vành giao hoán, ta có một k-algebra homomorphism f từ k[x][t] vào k[x] thỏa mãn f(x) = x và f(t) = x. Trong công thức Cramer AA’ = a*Id, nếu như ta biết rằng A’ nằm trong vành k[x][t] thì áp dụng f vào công thức này sẽ cho ngay a(x) = 0. Ta có thể hiểu công thức Cramer như sau: nếu chia (bên trái) đa thức a bởi A = t*Id – x trong vành Mn(k)[t] (Mn = vành các ma trận vuông bậc n), ta sẽ được tỉ là A’ và thặng dư 0. Vì t*Id – x là đa thức monic (với biến t), phép chia ở trên thực hiện được trong vành con k[x][t], và tỉ và thặng dư vẫn như cũ vì chúng là duy nhất. Từ đó cho thấy A’ nằm trong k[x][t]. QED
    (Chứng minh này học được từ ông thầy của tôi.)

    KHG

    17/11/2011 at 19:00

  3. nếu được mấy bạn kèm theo tiếng Anh trong 1 số thuật ngữ toán học, ví dụ Ma trận = matrix, trường = field, vành = ring……..

    Cảm ơn nhiều,
    TN

    Thuy Nguyen

    22/11/2011 at 21:02

  4. cái này là nghe nói
    1.mọi tiên đề (định lí) đều có giá trị tương đương
    2.không thể phủ nhận 1 tiên đề (định lí) bằng 1 tiên đề (định lí) khác
    chứng minh : giả sử có 1 công thức để phủ định 1 tiên đề (định lí) A thì khi đó tiên đề (định lí) B phủ định A cũng sẽ có công thức để phủ định như vậy mọi tiên đề (định lí) đều sai còn nếu không có 1 công thức để phủ định 1 tiên đề (định lí) A thì mọi tiên đề (định lí) đều đúng
    như vậy trong khoa học không có sự đúng sai

    9870810vn

    03/01/2012 at 04:26

  5. Chào anh Châu,
    Tôi đang làm master tại miền Nam, về vật lý lý thuyết và vật lý toán.
    Tôi gặp một vấn đề nhỏ, về nhóm cầu S7, nhưng loay hoay mãi không giải quyết được.
    Đành kiếm sự trợ giúp từ anh. Vì không tìm thấy email của anh nên đành đi bằng cổng này.
    Biết anh có làm về lý thuyết nhóm nên xin anh mách nước:
    1.Cấu trúc của nhóm cầu S7 và bộ vi tử. Tại sao nhóm này không phải là nhóm Lie?
    2.Tôi sử dụng nhóm quotient SO(8)/SO(7), vì nó đẳng cấu với cầu S7. Nhưng không bóc ra được bộ hằng số cấu trúc (structure constants). Tôi lại rất cần bộ này để tính một loạt cường độ trường gauge.
    Biết có mạn phép và làm phiền anh, mong anh bỏ quá cho.
    Thới Ngọc Tuấn Quốc
    Email: educare.quoc@gmail.com

    Thới Ngọc Tuấn Quốc

    25/03/2012 at 03:40

    • Mặt cầu 7 chiều có cầu trúc đa tạp khả vi, nhưng không có cấu trúc nhóm cho nên không thể là nhóm Lie. Bạn chú ý rằng nhóm SO(7) không phải là nhóm con chuẩn tắc của SO(8).

      thichhoctoan

      25/03/2012 at 04:18

      • Vâng, tôi có biết về ‘đứa con rơi’ này. Liên hệ toán – lý, hiện tại bị giới hạn bởi đại số chia, cũng là hy vọng của tôi. Do đó, dừng lại ở octo. Rất cảm ơn anh!

        Thới Ngọc Tuấn Quốc

        25/03/2012 at 15:50


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: