Thích Học Toán

Chuỗi Fourier (3)

with 3 comments

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} bao gồm các hàm liên tục trên {[0,1]} được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

  1. với mọi {n}, {\int_{0}^1 K_n(x) dx=1},
  2. tồn tại {M>0} sao cho với mọi {n} ta có {\int_0^1 |K_n(x)| \leq M},
  3. với mọi {\delta>0}, ta có {\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0} khi {n\rightarrow \infty}.

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy {K_n * f} hội tụ về {f}. Cho một họ {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} xấp xỉ đơn vị và {f} là một hàm khả tích trên {[0,1]}. Khi đó

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)

mỗi khi hàm {f} liên tục tại {x}. Hơn nữa, nếu {f} liên tục khắp nơi thì {K_n * f} hội tụ đều về {f}.

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy \displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N). Vì thế tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier.

Thay cho nhân của Dirichlet, bạn cũng có thể xét họ các nhân của Fejer

\displaystyle F_N(x)={1\over N}(D_0(x)+\cdots+D_{N-1}(x)).

và bạn kiểm tra được rằng

\displaystyle F_N(x)={1\over N}{ \sin^2(N \pi x) \over \sin^2(\pi x)}.

Bạn quan sát thây họ các nhân của Fejer xấp xỉ đơn vị. Rồi bạn rút ra kết luận là với mọi hàm khả tích {f} trên {[0,1]}, tại mỗi điểm liên tục {x}, {\sigma_N(f)(x)}={1\over N} (S_0(f)+\cdots+S_{N-1}(f)) hội tụ về {f(x)} khi {N \rightarrow \infty}. Khi {f} liên tục khắp nơi thì {\sigma_N(f)} hội tụ đều về {f}. Bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Cesaro. Tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier nhưng đảm bảo được sự hội tụ theo kiểu Cesaro.

Họ các nhân của Poisson

\displaystyle P_r(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{2 i \pi n x}

phụ thuộc vào tham số {r} với {0 \leq r <1} cũng rất đáng lưu ý. Bạn tính được

\displaystyle P_r(x)={1-r^2 \over 1-2r \cos (\pi x)+r^2}.

và từ đó bạn suy ra rằng họ này xấp xỉ đơn vị khi {r\rightarrow 1}. Bạn rút ra kết luận vơi mọi hàm khả tích {f} trên đoạn {[0,1]}, tại mỗi điểm liên tục {x}, {(f*P_r)(x)} hội tụ về {f(x)} khi {r\rightarrow 1}. Nếu {f} liên tục khắp nơi thì {(f*P_r)(x)} hội tụ đều về {f(x)}.

Tích chập {f*P_r} biểu diễn được dưới dạng tổng Abel

\displaystyle f* P_r = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|} a_n e^{in \pi x}=A_r(f)(x).

và bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Abel.

Nói chung, hội tụ thông thường kéo theo hội tụ kiểu Cesaro, hội tụ kiểu Cesaro kéo theo hội tụ kiểu Abel … Đôi lúc bạn muốn cho thêm giả thiết để có định lý theo chiều ngược lại. Một định lý theo chiều ngược lại gọi là định lý Tauber. Ngoài định lý gốc của Tauber, còn có triệu triệu định lý Tauberc biến thái và chúng thường rất có ích trong lý thuyết số giải tích. Một ví dụ điển hình là chứng minh định lý về các số nguyên tố mà chũng ta sẽ quay lại bàn sau.

Advertisements

Written by thichhoctoan

06/02/2012 lúc 15:30

Posted in Toán

Tagged with , ,

3 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Hình như công thức của D_N(x) có lỗi đánh máy: N+1/2 phải được thay bằng 2N+1.

    damtson

    07/02/2012 at 01:40

  2. Chân thành cảm ơn thầy, em thấy nhiều thứ ở đây quá ạ!!!

    Bùi Xuân Quang

    08/02/2012 at 16:05


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: