Thích Học Toán

Chuỗi Fourier (5)

leave a comment »

Bạn đã nóng ruột muốn biết khi nào thì chuỗi Fourier hội tụ. Bây giờ là lúc tôi có thể phát biểu một chỉ tiêu đơn giản cho sự hội tụ : chỉ tiêu này là một điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Cho {f} là một hàm tuần hoàn liên tục có đạo hàm tại một điểm {x_0}. Khi đó chuỗi Fourier sẽ hội tụ tại điểm {x_0}.

Bạn có thể giả thiết {x_0=0}{f(0)=0}. Bạn cũng có thể coi {f} như một hàm liên tục trên đoạn {[-1/2,1/2]} thỏa mãn {f(-1/2)=f(1/2)} và có đạo hàm tại điểm {0}. Cái bạn cần chứng minh là tích phân

\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} f(x)D_N (-x) dx = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) {\sin(-(2N+1) \pi x) \over \sin (-\pi x )} dx

tiến về {0} khi {N} tiến ra {\infty}.

Cái khó chịu trong tích phân trên là mẫu số {\sin (-\pi x )}. Cái mẹo của bạn là xét hàm

{F(x)= f(x)/ \sin (-\pi x)}

với mỗi giá trị {x\not= 0}. Sử dụng nguyên tắc l’Hopital, bạn biết hàm này có giới hạn khi {x\rightarrow 0} và vì thế có thể thác triển thành một hàm liên tục trên đoạn {[-1/2,1/2]}. Tích phân ở trên nay có thể viết thành

\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} F(x) \sin (-(2N+1) \pi x) dx

và bạn chợt nhận ra rằng cái bạn muốn chứng minh là hệ quả của định lý Riemann-Lebesgue đã được nhắc đến.

Do tinh ý, bạn chợt băn khoăn vì hàm {F(x)} chưa chắc đã là một hàm tuần hoàn liên tục ; chết chửa {F(-1/2)=-F(1/2)}. Sự gián đoạn của hàm {F} tại một điểm thực ra không ảnh hường đến chứng minh định lý Riemann-Lebesgue mà bạn đã nắm vững. Định lý này đúng cho mọi hàm khả tích. Bạn cũng nhận ra rằng có thể làm yếu đi giả thiết liên tục trong định lý hội tụ điểm đươc nêu ở trên.

Có nhiều định lý hội tụ điểm của chuỗi Fourier tinh vi hơn, điển hình là định lý Carleson-Hunt khẳng đinh sự hội tụ hầu hết khắp nơi của mọi hàm {L^p} với {1<p < \infty }. Thú thật là tôi không biết chứng minh đinh lý này như thế nào nên không giúp bạn hơn được.

Có một định lý khác, dễ hơn, nhưng cũng rất quan trọng, đó là định định lý hội tụ của chuỗi Fourier trong không gian {L^2} theo chuẩn {L^2}. Nhưng chủ đề này nên để dành lại sau. Trong những bài tới, tôi xin kể với bạn một vài ứng dụng của chuỗi Fourier, vẫn tiếp tục dựa vào quyển Fourier Analysis của Stein.

Advertisements

Written by thichhoctoan

21/02/2012 lúc 04:43

Posted in Toán

Tagged with

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: