Thích Học Toán

Phạm trù và đồng luân (1)

with 8 comments

Chép lại từ blog cũ

*****

Người Ấn Độ day dứt từ ngàn năm với cái vòng luân hồi, làm cả thế giới day dứt theo. Không biết thì thôi, chứ biêt nay mai mình hóa ra con bọ biết bay thì thấy cũng lo lo. Nỗi lo luân hồi của các nhà tô pô cũng canh cánh không kém. Các ông ấy băn khoăn không biết thế giới này phải đồng luân mấy vòng thì mới thoát

Có ai đi hết mặt cầu
Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.

Bài toán làm các nhà tô pô đau đầu từ mấy chục năm nay là tính đồng luân mặt cầu. Cuộc đau đầu tập thể này vẫn đang tiếp diễn.

****

Bạn nối từ điểm x đến điểm y trên mặt giấy bằng một nét bút, thẳng cong tùy ý, gãy khúc cũng được, miễn là đầu bút không được rời khỏi mặt giấy. Trong ngôn ngữ toán học, một cung là một ánh xạ liên tục f : [0,1] \to X với từ đoạn thẳng đơn vị vào không gian tô pô X mặt giấy có điểm đầu là f(0)=x và điểm cuối là f(1)=y. Tô pô là khái niệm toán học diễn đạt một cách chính xác khái niệm ánh xạ liên tục.

Không gian X là liên thông nếu với mọi điểm x,y \in X, ta có thể băc một cung tình yêu từ điểm x đến điểm y. Thực ra, trong tô pô, người ta gọi thuộc tính này là liên thông theo cung, để dành chữ liên thông cho một thuộc tính hao hao.   Nói chung, trong tất cả các không gian ta thường gặp, liên thông và liên thông theo cung là tương đương nhau, và ta không dại gì mà không tự hạn chế vào trường hợp đó.

Bắc cung từ điểm nọ sang điểm kia xác định một quan hệ tương đương trên không gian X. Tập các lớp tương đương gọi là tập các thành phần liên thông của X. Hai điểm nằm trong cùng một thành phần liên thông thì có thể nối với nhau, hai điểm nằm trong hai thành phần liên thông khác nhau thì không.

Tập các thành phần liên thông \pi_0(X) là bất biến thô sơ nhất, nhưng cũng là cơ bản nhất của không gian X. Nhưng còn những bất biết tinh tế hơn nhiều, nhóm cơ bản \pi_1(X), và các nhóm đồng luân cấp cao \pi_2(X), \pi_3(X), \ldots.

Để hiểu định nghĩa các nhóm đồng luân cấp cao, tốt nhất là dựa vào mấy khái niệm phạm trù, 2-phạm trù, 3-phạm trù … Đây là những khái niệm thậm trừu tượng, khó tiêu hóa, nhưng trong bối cảnh của đồng luân, chúng trở nên khá trực quan.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương, ta xét phạm trù C(X) với đối tượng là các điểm của X và với ánh xạ từ x\in X đến y\in X là tập các cung nối từ x đến y. Hai đối tượng tương đương với nhau, nếu có ít nhất một ánh xạ rọi từ đối tượng này qua đối tượng kia. Ánh xạ là quan hệ giữa các đối tượng. Trong một phạm trù, quan hệ đóng vai trò quan trọng hơn đối tượng.

Vấn đề đồng luân nằm ở chỗ có quan hệ giữa các quan hệ. Cho f: [0,1] \times [0,1] \to X là một ánh xạ liên tục. Khi đó ta nói cung khởi \alpha \mapsto f(\alpha ,0) và cung kết \alpha \to f(\alpha,1)đồng luân với nhau.

Nếu thay vì các cung, ta xét các lớp tương đương các cung theo quan hệ đồng luân, thì ta có một phạm trù mới. Tập các tự đẳng cấu của x\in X trong phạm trù này là nhóm cơ bản \pi_1(X,x). Nói một cách ngắn gọn hơn, \pi_1(X,x) là nhóm các lớp tương đương các cung từ x vòng lại x xét theo quan hệ đồng luân.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương các cung theo quan hệ đông luân, ta có thể xây thêm một tầng trừu tượng hơn nữa. 2-phạm trù không chỉ có vật, quan hệ, mà còn có quan hệ giữa hai quan hệ. Ở đây các 2-quan hệ laị được xét modulo tương đương đồng luân. Khi đó nhóm các 2-tự đẳng cấu của một cung nào đó chính là nhóm đồng luân bậc hai \pi_2(X).

Tiếp tục với 3-phạm trù, ta định nghĩa được \pi_3(X) … và câu chuyện có thể tiếp diễn đến vô cùng.

Cuộc sống sẽ vô cùng đơn giản nếu ta chỉ cần định nghĩa, không cần tính toán cụ thể. Nhóm cơ bản \pi_1(X) nói chung có thể tính theo sự chỉ dẫn của Van Kampen. Nhóm cơ bản \pi_1 của đường thẳng thì bằng không trong khi nhóm cơ bản của đường tròn thì đẳng cấu với \Bbb Z.

Các nhóm đồng luân cấp cao \pi_i(X) khó tính hơn nhiều. Đến bây giờ, người ta vẫn chưa biết làm thế nào tính được các nhóm đồng luân cấp cao của mặt cầu nhiều chiều.

Advertisements

Written by thichhoctoan

22/02/2012 lúc 04:46

Posted in Toán

Tagged with ,

8 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. “Đến bây giờ, người ta vẫn chưa biết làm thế nào tính được các nhóm đồng luân cấp cao của hình cầu nhiều chiều.”

    Chắc hòa thượng muốn nói đến đồng luân của mặt cầu (sphère) chứ không phải của hình cầu (boule) ?

    Hải

    22/02/2012 at 13:37

  2. http://www.mathvn.com/2012/02/chung-minh-inh-ly-lon-fermat-chi-trong.html

    Nếu hòa thượng có thời gian mong hòa thượng xem qua chút xíu

    nhuthanhnam

    22/02/2012 at 15:21

    • Các nhóm đồng luân là bất biến qua ánh xạ đồng phôi nên có lẽ là ý tưởng thông minh để nhận biết xem 2 đa tạp có đồng phôi với nhau không. Ở năm thứ nhất Đại học, khi học về liên thông là đường cong nối A và B nghĩa là sự dịch chuyển liên tục của các điểm từ A đến B, thì có lẽ nghĩ đến sự dịch chuyển liên tục của các đường cong từ đường cong này tới tường cong kia (tạo ra nhóm đồng luân cấp 1), các mặt từ mặt này tới mặt kia (tạo ra nhóm đồng luân cấp 2). Thông qua công thức Stocke, thì đồng luân cấp k chính là bản chất của Đối đồng điều De Rham thứ k. Do đó mặc dù định nghĩa của Đối đồng điều De Rham dựa trên giải tích nhưng lại là bất biến tô pô (cách chứng minh khác là hệ quả của lý thuyết bó)
      To nhuthanhnam: Tác giả phải có trách nhiệm kiểm tra công việc của mình chứ, có phải ai cũng có thời gian ngồi kiểm tra đâu. Mất vài phút đọc lướt qua, thì đẳng thức (1.34) lập luận dựa trên biến đổi giải tích, tiếp tuyến gì đó (không dùng giả thiết a,b,c nguyên) thì thể không từ phương trình Fecma bậc n đưa về phương trình bậc 4 được. Do đó nhìn ra ngay đẳng thức (1.34) luôn đúng với a,b tuỳ ý, thế thì làm sao tác giả từ đẳng thức (1.34) dẫn đến vô lý được.

      HH

      23/02/2012 at 03:26

  3. “Luân hồi” trong triết học Phật giáo là “Ko thể nghĩ bàn” – Chỉ khi giác ngộ mới có thể cảm biết và ko thể nói ra (Đức Phật sau khi giác ngộ dưới gốc Bồ đề ngẫm nghĩ thế ! Đúng ko nhỉ ?) nay Toán có thể tiếp cận thật đáng mừng ! Kinh Dịch lại viết:”Bị trói bằng dây thừng to, lại quăng vào bụi rậm!”

    minh thiện

    23/02/2012 at 07:06

  4. Vào Blog, thấy có bài mới, mừng quá.
    Đọc đoạn đầu thấy ” các nhà tô pô” không hiểu gì, đọc tiếp thì
    hiểu ra là liên quan đến toán học, nhưng càng không hiểu.
    Đọc đến các comments thì kết luận là hôm nay mình phải quay ra thôi.

    Thưa GS, vẫn biết GS rất bận, nhưng vẫn mong được đọc những bài viết
    về cuộc sống, về thơ ca …để những người ngoại đạo như tôi hiểu được (nghĩ là mình hiểu được).

    nguyen chan thanh

    24/02/2012 at 02:45

  5. To nguyen chan thanh: Muốn hiểu được cái đó phải học tương đối nhiều về tôpô ạ.

    Bùi Xuân QuangBui

    10/03/2012 at 02:46

  6. Thầy ơi, hai câu thơ này thầy sáng tác ạ, thầy sáng tác trước kia hay khi viết bài này thì mới sáng tác. Em cảm ơn thầy vì bài viết quá hay, dù chưa hiểu hết được nhưng nó cũng vô cùng hữu ích khi sắp tới đây, tháng 6, em sẽ bảo vệ khóa luận tốt nghiệp, có dính dáng chút xíu tới nhóm cơ bản này, rất nhiều thứ em muốn nói hôm bảo vệ có liên quan tới bài viết. Xin phép thầy cho phép em sử dụng ít nhiều bài viết này, đặc biệt là hai câu thơ:
    “Có ai đi hết mặt cầu
    Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.”
    Em cảm ơn thầy ạ.

    Bùi Xuân Quang

    11/03/2012 at 16:05


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: