Thích Học Toán

Phạm trù và đồng luân (2)

with one comment

Phải thừa nhận là “Phạm trù và đồng luân (1)” rất khó hiểu, không chỉ đối với người đọc mà cả đối với người viết 🙂 Tôi đã mắc khuyết điểm là kéo bạn đi quá nhanh, đi từ những cái bạn biết là không gian tô pô, ánh xạ liên tục đến những chỗ mà cả bạn lẫn tôi và thực ra cả nhân loại chưa hiểu rõ, đó là đồng luân cấp cao.

Bây giờ là lúc bạn nhẩn nha quay chậm lại cuộn phim để níu kéo lại một chút gì hữu hình cho bạn. Bạn có một không gian tô pô {X}. Bạn xét các điểm của {X}, rồi xét các đoạn thẳng trong {X} tức là các ánh xạ liên tục {[0,1] \rightarrow X}, rồi các hình vuông trong {X} tức là các ánh xạ liên tục {[0,1]^2 \rightarrow X}, rồi hình vuông ba chiều (lập phương), rồi hình vuông {n } chiều.

Cố định một điểm qui chiếu {x\in X }. Nhóm cơ bản {\pi_1(X,x )} là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) các đoạn thẳng xuất phát và kết thúc tại điểm {x }, tức là ánh xạ {f:[0,1] \rightarrow X } với {f(0)=f(1)=x}. Nói cách khác thì f là một ánh xạ liên tục từ hình tròn {S^1} vào {X }. Khi bạn buộc hai đầu mút của đoạn {[0,1]} lại với nhau, nó trở thành cái gì đó giống như hình tròn.

Phần tử đơn vị của {\pi_1(X,x)} là lớp của ánh xạ hằng {e:[0,1] \rightarrow X } với {e(\alpha)=x } với mọi {\alpha \in [0,1]}. Đồng luân của {e} với chính nó là một ánh xạ liên tục {f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow X } nhận giá trị {x} trên biên của hình vuông. Nói cách khác {f} là một ánh xạ liên tục từ mặt cầu {S^2} vào {X }. Tưởng tượng hình vuông như một cái mù soa, khi bạn buộc biên của mù soa lại, nó trở thành cái gì đó giống như mặt cầu. Như vậy nhóm đồng luân cấp hai {\pi_2(X,x)} là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục {S^2 \rightarrow X} gửi một điểm qui chiếu của mặt cầu (nơi biên của hình vuông chập lại) lên điểm qui chiếu {x} của {X}.

Chiều ba thì khó tưởng tượng hơn nhiều. Khi bạn “buộc” biên của hình lập phương lại thành một điểm, nó trở thành mặt cầu ba chiều {S^3}. Tất nhiên là khó tưởng tượng rồi, vì cả tôi và bạn đều chưa “nhìn” thấy mặt cầu ba chiều bao giờ. Nhưng dù sao bạn đã có đủ cơ sở đển tin rằng nhóm đồng luân {\pi_n(X,x)} là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục từ mặt cầu {n} chiều {S^n } vào {X }, gửi một điểm qui chiếu trên mặt cầu lên điểm qui chiếu {x } của {X}.

*****

Trong cái “phạm trù” nhắc đến trong bài trước, vật là các điểm của {X}, mũi tên là các đoạn thẳng trên {X}, mũi tên cấp 2 là các hình vuông trên {X} … Nhưng bạn còn chưa xét kỹ làm thế nào có thể hợp thành hai đoạn thẳng, hai hình vuông …

Bạn dễ hình dung cách hợp thành hai đoạn thẳng mà đoạn sau xuất phát nơi đoạn trước kết thúc. Cho {f_1:[0,1]\rightarrow X} với {f_1(0)=x}, {f_1(1)=y}{f_2:[0,1] \rightarrow X } với {f_2(0)=y }, {f_2(1)=z}. Bạn có thể dựng {f=f_2 \circ f_1} bằng cách chia đoạn {[0,1]} thành hai phần {[0,1/2]}{[1/2,1]} ; trên {[0,1/2]} bạn dùng ánh xạ {\alpha \mapsto f_1(2\alpha)}, trên đoạn {[1/2,1 ]} bạn dùng {\alpha \mapsto f_2(2\alpha -1)} chẳng hạn. Bạn chột dạ và cảm thấy bất ổn vì có quá nhiều cách hợp thành tương tự như thế ; chẳng hạn như bạn hoàn toàn có thể chia đoạn {[0,1]} thành hai đoạn {[0,1/3]}{[1/3,1]}, hoặc thậm chí bạn có thể chọn hai đoạn bất kỳ trong {[0,1]} không có giao, sau đó dùng {f_1} trên đoạn thứ nhất rồi dùng {f_2} trên đoạn thứ hai. Bạn có thể tự chấn an rằng cách đầu tiên có vẻ cân đối nhất nên bạn dùng cách đó mà bỏ qua tất cả các cách hợp thành khác. Thực tế là vẫn không ổn, dù có chọn cách nào thì {(f_1 \circ f_2) \circ f_3} cũng khác với {f_1 \circ (f_2 \circ f_3)}. Đến đây thì bạn cảm thấy hoang mang thực sự : phạm trù này là loại phạm trù gì khi tiên đề quan trọng nhất là tính kết hợp không được thỏa mãn.

Chìa khóa để xua tan sự hoang mang của bạn là : mọi cách hợp thành được nêu ở trên đều tương đương đồng luân với nhau. Nếu bạn thay ánh xạ bằng lớp ánh xạ theo quan hệ tương đương đồng luân, phép hợp thành được xác định một cách duy nhất và tiên đề về tính kết hợp được thỏa mãn. Bạn thở phào, may quá {\pi_1(X,x)} vẫn là một nhóm.

Bạn đã đủ dũng cảm để hợp thành mũi tên cấp hai chưa. Tôi thì chưa. Tôi chỉ đủ dũng cảm để nghĩ đến các phần tử của nhóm {\pi_2(X,x)}. Mỗi phần tử là một lớp tương đương đồng luân ánh xạ liên tục từ hình vuông {[0,1]^2} vào {X }, nhận giá trị {x} trên biên của hình vuông. Để hợp thành, tôi khoét trong hình vuông, hai hình vuông nhỏ hơn, không giao nhau. Nếu có hai ánh xạ từ hình vuông vào {X} nhận giá trị {x} trên biên, tôi sẽ co chúng lại thành ánh xạ trên hai hình vuông nhỏ rồi thác triển ra toàn bộ hình vuông to bằng cách đặt giá trị {x} lên mọi điểm nằm ở ngoài hai hình vuông nhỏ mà tôi đã khoét. Dĩ nhiên cách hợp thành của tôi phụ thộc vào vị trí của hai hình vuông nhỏ trong hình vuông to, nhưng vì bạn có thể di chuyển thỏa thích hia hình vuông nhỏ trong hình vuông to, hai cách hợp thành khác nhau thực ra tương đương đồng luân với nhau. Như vậy phép hợp thành trong {\pi_2(X,x)} được xác định một cách duy nhất và tiên đề về tính kết hợp được thỏa mãn.

Bạn bất chợt hỏi tôi : cái gì sẽ xảy ra nếu bạn di chuyển hình vuông con thứ nhất vào vị trí của hình vuông con thứ hai và hình vuông con thứ hai về vị trí của hình vuông con thứ nhất sao cho trong quá trình di chuyển, hai hình không bao giờ giao nhau. Tôi nói rằng hoan hô, bạn vừa chứng minh rằng nhóm {\pi_2(X,x)} là một nhóm giao hóan. Mọi nhóm đồng luân cấp cao {\pi_n(X,x)} với {n\geq 2} đều là nhóm giao hoán.

Nhưng bạn cũng đừng chủ quan mà cho rằng vì chũng là nhóm giao hoán nên chắc dễ. Nếu bạn xác định được đồng luân cấp cao của mặt cầu {S^2}, sẽ có rất nhiều người ngả mũ chào bạn.

Advertisements

Written by thichhoctoan

02/03/2012 lúc 04:56

Posted in Toán

Tagged with ,

Một phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Đọc bài này của anh Châu

    https://ngobaochau.wordpress.com/2012/03/02/ph%E1%BA%A1m-tru-va-d%E1%BB%93ng-luan-2/#more-454

    thấy anh Châu hỏi là “Bạn đã đủ dũng cảm để hợp thành mũi tên cấp hai chưa. Tôi thì chưa.” tự cảm thấy mình hoàn toàn không có cái dũng cảm để nói về 2-Categories, mặc dù dân Topo thì rất khoái khẩu với món \infty-categories hơn nữa.

    Bài này mình viết để trình bầy lại câu chuyện của anh Châu dưới ngôn ngữ của hình học đại số, tức là thay đoạn thẳng I = [0,1] bởi đường thẳng affine, 1 vật thể được định nghĩa như là 1 lược đồ. Trước hết ta hãy fix 1 base scheme S và giả sử luôn ngay từ ban đầu S là noetherian có số chiều Krull hữu hạn (chú ý là ta không cần phải giả sử trường hoàn hảo nếu bạn thích làm trên trường). Nhận xét rằng phạm trù các lược đồ trơn trên S không đủ tốt để làm đồng luân, do phép lấy thương không tồn tại (hiển nhiên bạn có thể mở rộng sang phạm trù Stack (nếp), nhưng đây cũng không phải là nơi phù hợp để làm việc với đồng luân), phép lấy thương không tồn tại có thể hiểu 1 cách hình thức là không tồn tại colimit(đối giới hạn) của 1 họ lược đồ cho trước. Bởi vậy ta phải cộng thêm 1 cách hình thức đối giới hạn vào phạm trù mà ta đang xét. Để làm điều này, thì ý tưởng cơ bản nhất đã được Grothendieck sử dụng đi sử dụng lại trong mọi lý thuyết của ông ta, đó là dùng phép nhúng Yoneda ta nhúng 1 cách chung thủy và đầy đủ phạm trù các lược đồ trơn vào phạm trù tiền bó thông qua hàm tử biểu diễn được Hom(-,X).

    Tất nhiên là bạn có thể phát triển 1 lý thuyết đồng luân dựa trên phạm trù tiền bó, nhưng đây cũng không phải là 1 phạm trù tốt để thực hiện đồng luân 1 cách sung sướng bởi biểu đồ giao hoán đẩy của tiền bó biểu diễn được sẽ không phải là 1 tiền bó biểu diễn được, nói cách khác hợp của 1 bộ phủ trên lược đồ sẽ không cho ta 1 cấu xạ đơn ánh từ lát cắt toàn cục xuống nó. Bởi vậy ta phải đi tiếp 1 bước nữa là xét phạm trù các bó trên 1 topo Grothendieck cho trước. Hiển nhiên bạn có thể chọn ngay topo Zariski, vì nó gần gũi với hình học đại số cơ bản của các bạn sinh viên/ NCS năm nhất, nhưng đây cũng không phải là 1 sự lựa chọn khôn ngoan, vì topo này quá thô để làm đồng luân, cụ thể với biểu đồ giao hoán đẩy như trên ta không có đủ tập mở để hàm tử biểu diễn được của chúng ta hành xử như 1 không gian đủ tốt.

    Bạn có thể chọn topo etale (advanced hơn topo Zariski 1 chút), nhưng khi làm sâu vào đồng luân rồi, rất nhiều tính chất mong đợi sẽ chỉ đúng cho phạm trù đồng luân với topo etale chỉ khi người ta hạn chế xuống 1 trường đóng đại số (cụ thể là vành địa phương trong topo etale là vành Heselian chặt). Do vậy người ta phải dùng topo Nisnevich, 1 thứ nằm giữa Zariski và etale. Topo Nisnevich tốt theo nghĩa là các hàm tử biểu diễn được Hom(-,X) tự động trở thành 1 bó, ngoài ra nó còn sở hữu 1 tính chất tuyệt vời khác đó là hợp thành của 2 hàm tử: hàm tử bó hóa theo topo Nisnevich và hàm tử nhúng từ phạm trù lược đồ trơn vào phạm trù tiền bó Nisnevich, sẽ tự động là 1 phép nhúng chung thủy trọn vẹn. Do đó người ta có thể xem mỗi 1 lược đồ trơn như là 1 bó Nisnevich biểu diễn được, nói cách khác phạm trù lược đồ trơn trên S được nhận dạng như là ảnh chính (essentiall image) của nó trong phạm trù các bó Nisnevich.

    Bây giờ ta thực hiện làm việc với tổ hợp trên phạm trù bó Nisnevich, tức là ta xét phạm trù các bó đơn hình Nisnevich, vật thể của phạm trù này là các hàm tử phản biến từ phạm trù đơn hình vào phạm trù bó Nisnevich. Nhắc lại phạm trù đơn hình chẳng qua là tổng quát hóa của khái niệm đơn hình trong topo tổ hợp, tất cả những gì bạn phải làm là thay khái niệm tập đơn hình [n] bằng phạm trù [n], thay ánh xạ bằng hàm tử và tất cả các quy tắc ứng xử của ánh xạ nhúng mặt và ánh xạ dìm suy biến đều được sao chép lại 1-1 thành quy tắc ứng xử của phạm trù đơn hình. Để đơn giản, người ta thường gọi phạm trù các bó đơn hình Nisnevich là 1 phạm trù không gian, vật thể của nó được đơn giản gọi là không gian. Xin lưu ý rằng tất cả các bó Nisnevich ta đang xét đều nhận giá trị trong phạm trù các tập hợp.

    Bây giờ bạn chỉ việc sao chép lại ý tưởng của Quillen trong topo đại số, đó là gán cho phạm trù không gian 1 cấu trúc mô hình để nó trở thành 1 phạm trù mô hình. Nhắc lại 1 cấu trúc mô hình bao gồm 3 loại lớp các cấu xạ, lần lượt là đối phân thớ(cofibration), phân thớ(fibration), và tương đương yếu (weak equivalence), sao cho chúng thỏa mãn 1 loạt các tiên đề(5 tiên đề) của Quillen. Tôi chỉ nhắc lại điều sau: đối phân thớ trong phạm trù không gian là các cấu xạ đơn ánh (monomorphism), tương đương yếu của 2 không gian được hiểu như là tương đương yếu trên tập đơn hình sau khi hạn chế xuống mầm của nó (mầm của 1 không gian như là tập các cấu xạ từ vành Henselian địa phương tại 1 điểm của 1 lược đồ trơn vào không gian đó) và phân thớ thỏa mãn tính chất nâng bên phải cho lớp các cấu xạ vừa là đối phân thớ vừa là tương đương yếu. 1 mô hình như vậy trên phạm trù không gian người gọi là mô hình đơn ánh địa phương (injective local model structure). Quillen nói với chúng ta rằng, nếu có 1 mô hình trên 1 phạm trù thì ta có thể làm đại số đồng luân thỏa thích, tức là phạm trù đồng luân thu được bởi việc ta hình thức nghịch đảo lớp các cấu xạ tương đưong yếu.

    Phạm trù đồng luân xây dựng từ phạm trù không gian nói trên được gọi là phạm trù đồng luân đơn hình của các lược đồ trơn. Tuy nhiên đây mới chỉ là bước tiền khởi động để làm đồng luân trong hình học đại số. Ta đưa ra mô hình đường thẳng affine như sau: 1 cấu xạ giữa 2 không gian X và Y gọi là tương đương đường thẳng affine yếu (A1-weak equivalence) nếu tập các cấu xạ trong phạm trù đồng luân đơn hình [X,Z]-> [Y,Z] là 1 ánh xạ song sánh, trong đó Z là 1 vật địa phương theo đường thẳng affine (A1-local), tức là với mọi vật thể T trong phạm trù đồng luân đơn hình, cấu xạ chiếu từ tích của T với đường thẳng affine xuống T sẽ cảm sinh 1 song ánh [T,Z]->[TxA1,Z](facebook không có latex để gõ công thức đẹp hơn, nhưng thế này cũng đủ để hiểu). Lặp lại định nghĩa của mô hình đơn hình ta có mô hình đường thẳng affine: đối phân thớ theo đường thẳng affine là các cấu xạ đơn ánh, và phân thớ theo đường thẳng affine là các cấu xạ thỏa mãn tính chất nâng bên phải của các cấu xạ vừa đối phân thớ và vừa tương đương yếu theo đường thẳng affine.

    Theo Quillen đã vạch ra, chỉ cần nghịch đảo 1 cách hình thức các tương đương yếu theo đường thẳng affine, ta nhận được 1 phạm trù, mà người ta thường gọi là phạm trù đồng luân mô-tip bất ổn định của các lược đồ trơn. Phạm trù này được xây dựng ban đầu bởi Voevodsky và Morel. Tuy nhiên đây mới chỉ là bước bắt đầu khởi động của chương trình đồng luân trong hình học đại số. Cái mà bạn muốn xét đó là phạm trù đồng luân ổn định. Câu hỏi là vì sao? Hãy cho phép tôi trích lại câu sau trong bài của anh Châu:

    “Nhưng bạn cũng đừng chủ quan mà cho rằng vì chũng là nhóm giao hoán nên chắc dễ. Nếu bạn xác định được đồng luân cấp cao của mặt cầu {S^2}, sẽ có rất nhiều người ngả mũ chào bạn.”

    Bạn thấy đấy, đồng luân ổn định cổ điển của mặt cầu thôi cũng đã rất khó tính được rồi.

    Trong hình học đại số, thì bó nhóm đồng luân bất ổn định theo đường thẳng affine của đường thẳng xạ ảnh (P1) đã được Morel tính toán, nó rất khó để viết ra ở đây 1 cách cụ tỉ, nhưng nó liên quan tới bó nhóm Milnor-Witt K-lý thuyết, 1 dạng tổng quát của K-lý thuyết Milnor nhưng đi cùng thêm với 1 dạng toàn phương (chủ yếu để xử lý các vấn đề nếu xét đến trường thực hình thức, tức là các mở rộng mà -1 không phải là 1 số chính phương). Bỏ qua những ứng dụng số học này, tôi muốn đưa bạn đến điểm chính của bài viết này đó là phạm trù đồng luân ổn định theo đường thẳng affine (hay mô-típ nếu bạn thích) của các phạm trù trơn trên 1 base S. Có nhiều cách để làm được điều này. Ban đầu Voevodsky xây dựng phạm trù dựa trên T-phổ như sau:

    Trong phạm trù bất ổn định ta có 2 loại đường tròn: thứ nhất là đường tròn đơn hình S^1_s để dễ hình dung, bạn hãy tưởng tượng khi thực hiện hóa hình học nó thì cái ta nhận được giống như 1 đường cong đại số nodal (đường cong tự cắt chính nó tại 1 điểm), tức là đường tròn đơn hình không gì khác hơn là 1 đường thẳng affine trong đó ta đồng nhất điểm 0 với điểm 1: S^1_s = A1/{0,1}. Loại đường tròn thứ 2 gọi là đường tròn Tate, nó được đơn giản định nghĩa như là nhóm nhân tính G_m (lược đồ nhóm nhân tính trên S). Do phạm trù bất ổn định của chúng ta các tích xé (smash product), ta định nghĩa T như là tích xé của đường tròn đơn hình và đường tròn Tate. Xin đừng nhầm lẫn với khái niệm phổ của vành, trong topo đại số, phổ đơn có nghĩa là dẫy các không gian cùng với 1 họ các cấu xạ gọi là cấu xạ xương sống (bonding map). Từ đó ta có thể xét phạm trù các phổ cùng với cấu xạ xương sống hình thành từ tích xé với T. Tích xé sẽ cung cấp cho ta 1 cấu trúc gọi là cấu trúc phỏng nhóm đối xứng trên phạm trù các phổ. Giờ ta nghịch đảo T 1 cách hình thức sẽ nhận được phạm trù đồng luân motivic ổn định SH của các phạm trù trơn trên S. Lưu ý rằng người ta có 1 đẳng cấu giữa T và đường thẳng xạ ảnh P1.

    Tương đương với cách làm này, đó là người ta dùng 2-Category và phạm trù phân thớ (theo Ayoub, Cisinski, Deglise) và thay vì dùng T-phổ, người ta dùng phổ đối xứng (symmetric spectra).

    homotopymonster

    28/03/2012 at 18:17


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: