Thích Học Toán

Phân bố đều

with 34 comments

Một bài toán kinh điển trong luyện thi học sinh giỏi là bài này. Chứng minh rằng nếu {\alpha} là số vô tỷ, dãy các số {n\alpha -[n\alpha]}, phần thập phân của {n\alpha} với {n\in \mathbb N} biên thiên, trù mật trong đoạn {[0,1]}. Lời giải dựa trên nguyên lý Dirichlet, còn được gọi là nguyên lý chuồng thỏ hoặc chuồng bồ câu tùy vào khu vực địa lý nơi bạn sinh sống.

Dùng chuỗi Fourier, Hermann Weyl chứng minh định đề mạnh hơn nhiều. Ông chứng minh rằng tập các phần thập phân {n \alpha - [n \alpha]} phân bố đều trên đoạn {[0,1]}. Nếu lấy một đoạn con {[a,b]} nằm giữa 0 và 1, xác suất để {n \alpha - [n \alpha]} rơi vào trong đoạn này đúng bằng {b-a}.

Gọi {I_{[a,b]}} là hàm đặc trưng của đoạn {[a,b]}, cái bạn muốn chứng minh là dãy số

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N I_{[a,b]} (n \alpha-n[\alpha])

có giới hạn đúng bằng {b-a} khi {N} tiến ra vô cùng.

Thực ra khẳng định này có thể mở rộng ra cho mọi hàm liên tục, hoặc tổng quát hơn là cho các hàm giới nội liên tục trên từng đoạn. Để đỡ mệt, bạn chỉ xét trường hợp một hàm biến thực {f} liên tục tuần hoàn với chu kỳ bằng một và bạn muốn chứng minh rằng

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N f (n \alpha)

hội tụ về {\int_0^1 f(x) dx} khi {N \rightarrow \infty}.

Theo định lý Fejer, bạn biết rằng mọi hàm liên tục tuần hoàn có thể xấp xỉ đều bằng đa thức lượng giác. Vì thế bạn chỉ cần chứng minh khẳng định trên cho các hàm {e^{2 i \pi m x}} với {m \in \mathbb Z}.

Đối với {m=0}, khẳng định trên là hiển nhiên. Đối với {m\not =0}, bạn muốn chứng minh rằng

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N e^{2 i \pi mn \alpha}

tiến về {0} khi {N\rightarrow \infty}. Vì bạn biết cách cộng cấp số nhân từ rất lâu, nên bạn quả quyết rằng bạn làm được. Tự nhiên bạn cảm thấy ngỡ ngàng tại sao chứng minh định lý phân bố đều của Weyl lại đơn giản như thế. Bạn quên mất rằng bạn đã có Joseph Fourier làm đồng minh.

Advertisements

Written by thichhoctoan

11/03/2012 lúc 16:10

Posted in Toán

Tagged with ,

34 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Tại sao {\alpha – [\alpha]} lại được gọi là “phần thập phân” ạ? Em nhớ hình như nó được gọi là phần lẻ :D.

    Mèo

    12/03/2012 at 13:37

  2. xin lổi! những câu hỏi mình đặc ra khá là mơ hồ!
    Cả nước mình ai củng thông thạo toán học thì hay nhỉ, con người làm cái gì củng có sự logic mang tính đinh hướng cao, con người làm gì củng có sự suy nghỉ và áp dụng toán học vào cuộc sống thì sẻ hình thành nên một lối sống khoa học luôn luông tư duy theo kiểu toán học.(mỡ đầu này chỉ là nói nhảm)
    Bác toán học ơi! so sánh giữa sự tư duy toán học, triết học, logic học và phật học tư duy nào tốt hơn, có hệ thống hơn. Hay chẳng có một hình thức tư duy nào chung mà con người tư duy theo kiểu truy xuất dữ liệu như máy tính là thu nạp, biến đổi, dò tìm rồi xuất.
    Để học về toán cao cấp có cần thiết là học hết toán cấp 3 và ba cuống sách “toán cao cấp” tập 1,2,3 của bộ giáo dục?

    thanhgjhjhh

    12/03/2012 at 13:56

  3. Con nguời “nghĩ” là một chuyện. Nhưng khi hành động thường là do, và theo trực cảm, xúc cảm, và vô thức của tập tục.

    Nếu bạn được sinh ra ở Iran thì chắc bạn không mê đạo Phật, được sinh ra ở Bắc Triều Tiên thì có khi đã sùng kính nhà Kim.

    Để thức tỉnh, con người cần một cố gắng tinh thần thường trực, bền bỉ.

    hmhoang

    12/03/2012 at 16:22

    • “Con nguời “nghĩ” là một chuyện. Nhưng khi hành động thường là do, và theo trực cảm, xúc cảm, và vô thức của tập tục” —– em cũng đang quan tâm đến cái này, nhưng không dám khẳng định chắc chắn như bác hmhoang. bác hmhoang có thể chỉ giúp em vài tài liệu, sách hay tác giả nào viết về cái này đc ko ạ. merci bác!

      ba Cừu

      18/03/2012 at 16:55

      • Chào bạn ba Cừu,

        Tài liệu? Thì bản thân đời sống là tài liệu gốc rồi.

        Lúc cả nước diện bộ đại cán Tàu thì đâu có quan nào dám diện bộ complet đi làm? Và nay thì gần như ngược lại.

        Ma chay cưới xin ở xứ ta nhiêu khê đến thế, bạn nghĩ chán là một chuyện, bạn cuối cùng vẫn phải lẩm bẩm làm theo đám đông như mọi ai.

        Nhưng đừng nghĩ tôi đúng, mệt ra. Cứ nghĩ tôi sai, khỏe hơn cho chính bạn, và cho cả tôi.

        Vui vẻ.

        hmhoang

        18/03/2012 at 18:34

    • bác hmhoang, hai chữ đời sống mông lung quá, bác nói đời sống nào, đời sống sau lũy tre làng bao đời nay ở Ta hay cái đời sống đang nảy nở đến Tự nhiên thứ 2 của Tây? sức mạnh của trực cảm, xúc cảm và vô thức của tập tục lớn đến chừng nào? Cái gì làm người ta thay những bộ đại cán của Tàu xưa, thành những bộ complet nay? nói như bác thì ko nghĩ nữa là nhất. nhưng cả bác cả em và chúng ta có đừng nghĩ được đâu. tuổi thơ ấu bao giờ cũng đẹp, nhưng chẳng ai có thể vì tiếc tuổi ấu thơ mà từ chối trưởng thành. thân!

      ba Cừu

      19/03/2012 at 05:25

      • Xem bạn ba Cừu cày vấn đề, tôi biết là bạn giỏi hơn hẳn bạn hmhoang rồi.

        Tôi nói thế này.

        Cách tốt nhất để hiểu một tập tục, là hãy sống được gần nhất theo suy nghĩ mong muốn đạt được tự do của mình, miễn là không làm hại đến người khác.Tất nhiên cứ điều chỉnh cho đến lúc ổn định được.

        Sau đó một thời gian, bạn sẽ thu hoạch được một “delta nghiệm sinh”.

        Không có cái delta này, những ai ra vẻ “hiểu tập tục” thực ra chỉ là những người chết đuối trong tập tục mà không hiểu gì..

        Vui nhã.

        hmhoang

        19/03/2012 at 19:55

      • bác hmhoang, răng bác phân biệt giỏi kém hay rứa! em chỉ cho rằng, qua trao đổi mỗi bên có thể hiểu rõ hơn vấn đề. cảm ơn bác vì cái “delta nghiệm sinh”, em sẽ nghiền ngẫm thêm về nó. thân!

        ba Cừu

        20/03/2012 at 04:35

      • Thế thì rất hay ba Cừu ạ.

        Tập tục chỉ thực sự đáng mến, khi ta trở thành người chủ của nó, người chủ tự do, chứ không phải là kẻ mạnh lợi dụng được tập tục.

        hmhoang

        20/03/2012 at 09:08

      • bác hmhoang, em phân biệt Tập tục và Tập tính. tập tục là những quy tắc thành văn hoặc bất thành văn được một cộng đồng thừa nhận. tập tục có thể là sản phẩm sáng tạo giúp cộng đồng tồn tại, phát triển trong mối quan hệ với hoàn cảnh Tự nhiên; tập tục cũng có thể là sản phẩm của kẻ thống trị, sáng tạo ra với mục đích duy trì quyền lực thống trị của mình. nhưng dù chủ nhân sáng tạo là ai thì, trong cả hai trường hợp tập tục đều là sản phẩm mang tính lịch sử, nghĩa là đều bị tha hóa trong tiến trình tiến hóa của cộng đồng. khi một tập tục bị tha hóa trở thành lạc hậu so với trình độ tiến hóa của cộng đồng thì dù là gì nó cũng sẽ không còn “đáng mến”. thường thì vỏ ngoài của một tập tục có thể không thay đổi, nhưng nội hàm của tập tục luôn trong tiến trình tiến hóa, vượt bỏ. có cùng một nội hàm sâu với tập tục, trong mối quan hệ với tập tục, tập tính ẩn, chậm, mang sắc thái cá nhân và biểu lộ như một vô thức, bản năng (em vẫn đang băn khoăn về tính di truyền của tập tính). tập tục thường mang tính cưỡng bách nên dễ bị lợi dụng nhưng cũng dễ thay đổi hơn tập tính, nhưng khi nói một tập tục nào đó của cộng đồng thay đổi thì thực ra ta chỉ nói đến sự thay đổi vỏ ngoài, nó cần đến sự thay đổi của tập tính bên trong mới hoàn thành quá trình tiến hóa. thay cái áo đại cán của Tàu thành bộ complet thì dễ, nhưng thay đổi con người trong những bộ áo đó thì khó và lâu hơn nhiều. khi ta đã làm chủ được tập tục, dù là “người chủ tự do” thì ta sẽ không còn thấy nó “đáng mến” nữa, khi đó do quy luật của sự tiến hóa của lý tính (cái này em cũng đang băn khoăn), ta sẽ có nhu cầu loại bỏ nó. đây là em hiểu bác hmhoang đặt tập tục và tập tính trong mối quan hệ với con người trong cộng đồng mà nó tác động; không phải trong viễn tượng của các nhà Dân tộc học khảo sát cộng đồng mà họ nghiên cứu. (nếu em có quá sa đà, thì mong bác chủ nhà thứ lỗi!)

        ba Cừu

        20/03/2012 at 17:05

      • Cẩn thận, phức tạp quá thì lại đắm đò.

        Phải tập rõ ràng, và đơn giản trước.

        Những tập tục đã quá cũ rích và gây mệt mỏi, gọi là hủ tục đi, ta hãy tập nói “không” khi ta thấy cần thiết.

        Và mặt khác ta chủ động giải phóng mọi người khác khỏi hủ tục khi hủ tục có vẻ “có lợi cho ta”.

        Ví dụ :

        – Tôi, hmhoang, cảm ơn nhã ý của mọi người quen, nhưng từ chối người quen biết đến viếng tôi khi tôi đã qua đời.

        Và tôi nói rõ trước như thế, để giải phóng cho mọi người quen biết, kể cả thày Ngô Bảo Châu! 😉

        Tốt nhất là có được một cô hộ lý xinh đẹp và một người nhà ở bên cạnh mình vào phút cuối, thế là đủ. Mà nếu không được đủ thế, thì cũng đại xá thiên hạ luôn.

        – Tôi cổ vũ tất cả mọi người nói rõ như thế, và làm được như thế, để cả xã hội được giải phóng.

        Ai không nói rõ được như thế, ai không làm được như thế, mời các vị tranh luận riêng với nhau đên cuối đời nha.

        P.S. Vui vẻ thôi, nhưng lòng dũng cảm thật đến từ trí tuệ chứ không phải từ mật và gan.

        hmhoang

        20/03/2012 at 19:46

      • bác hmhoang, như thế trước tiên ta cần có tiêu chuẩn phân định xem đâu là hủ tục, đâu không phải là hủ tục.
        cái này thường thì không đơn giản và dễ nhận như kiểu “cũ rích hay gây mệt mỏi”, ngay như chuyện từ chối “người quen biết đến viếng”, sẽ vẫn còn nhiều tranh luận.
        khi đó, ta còn phải cẩn thận kẻo không lại rơi vào bẫy duy ý chí. nếu bác hmhoang cũng là phó thường dân như em thì ta có thể tranh luận thoải mái. nhưng nếu bác là ông quan, hay tệ nhất là ông vua nào đó trong một cộng đồng chuyên chế thì “ý chí” này dễ có nguy cơ bị mang ra áp đặt. khi đó, thường thì ta sẽ có một hủ tục mới thế chỗ cho vị trí một hủ tục cũ.

        ba Cừu

        21/03/2012 at 03:42

      • Cảm ơn bạn ba Cừu!

        Nhờ có những ý kiến thú vị của bạn mà chúng ta đã có những trao đổi này.

        Và tôi xin chấm hết ở đây./.

        hmhoang

        21/03/2012 at 07:23

      • ok. chúc bác hmhoang luôn vui.

        ba Cừu

        22/03/2012 at 03:57

  4. Dear CuHinh,

    “Nếu bạn được sinh ra ở Iran thì chắc bạn không mê đạo Phật, được sinh ra ở Bắc Triều Tiên thì có khi đã sùng kính nhà Kim.”

    But here, we all were born in or originated from VietNam (one word as you wanted it so) 😉 Religion or government is not important. The key that we are looking for is to understand and love each others.

    Hai Au

    13/03/2012 at 00:25

  5. Chuyện kể rằng: Nhà tiên tri “ở Iran” ngồi trước ngọn núi lớn và nói với các đệ tử:
    – “Nếu ta nói núi hãy lại đây ! và núi ko tiến lại thì sao ?”
    – các đệ tử ngơ: ?
    – Ngài nói tiếp: “Thì ta sẽ tiến lại gần núi !”
    Thưa GS, Phải ko a ? hi hi hi

    minh thiện

    13/03/2012 at 08:50

  6. Vâng thưa ông ! Iran là thế ! Bắc Triều Tiên là thế ! Bảng giá trị ông là thế ! Sao lại gợi lên như thế ? Đó là “chấp trước và mộng tưởng” ! Bao giờ mới là “thấy biết như Phật” (Tri kiến Phât) đây ?

    minh thiện

    14/03/2012 at 07:01

  7. Thưa Hòa Thượng em xin hỏi 1 câu này hơi ngoài lề một chút a:
    1. Có bài toán nào chứng minh sự tồn tại của vô cực ( âm và dương ) không ạ????
    2. Thời gian gần đây em có đọc một số bài báo có thông tin về vận tốc của vi hạt có thể đạt được lớn hơn vận tốc ánh sáng ( vận tốc tuyệt đối ) mà anh xtanh đã đưa ra.
    Vậy thông tin này đã được kiểm chứng chưa ah???
    Theo như cách nghĩ thông thường thì em nghĩ là không có vận tốc hữu hạn nên em nghĩ cái phát mình này có cơ sở.

    Vậy khi những thông tin này được kiểm chứng thì có ảnh hưởng đến những học thuyết trước đây không ah???

    Cảm ơn Hòa Thượng rất nhiều ạ!!!

    Vô vi

    14/03/2012 at 09:06

    • Một số người cho rằng vận tốc ánh sáng còn chậm hơn cả vận tốc âm thanh.

      Ví dụ khi bật TV lên, thấy nói chán rồi mới thấy hình ảnh.

      hmhoang

      14/03/2012 at 15:04

  8. Vào thời vua Lê Thánh Tông, nho giáo phát triển cực thịnh, thi cử chọn ra “thành đạt” cũng nhiều nhất; nhưng vì thế số người không “thành đạt” cũng nhiều nhất ! Họ trở về làng và áp dụng kiến thức của mình thành ra “Phép vua thua lệ làng” ! Đặc điểm của họ là:
    – Nói thì như thánh nhân ?
    – Ngồi thì chiếu trên ?
    – Quyền phân chia tài sản và chân lý làng ?
    – Họ chịu trách nhiệm về thay đổi cả các “tập tục” hồn nhiên, trong sáng của người Việt ?
    – và nay họ vẫn còn sống ?
    . . .
    Suy nghĩ luẩn quẩn rồi: “không có đầu mối”! hình như không đúng đâu !

    minh thiện

    20/03/2012 at 08:57

  9. Cụ Hinh ơi, chết mà mơ có nữ hộ tá trẻ đẹp đứng cạnh thì sao nhắm mắt suôi tay đi cho thanh thản?
    Cụ cũng nên để cô hộ tá vào cái bao và nhờ thày THT hoặc ai đó treo lên trần nhà giữ hộ để tiện việc đi lại.

    kieu

    21/03/2012 at 22:35

    • Đi không thanh thản, thì cũng có làm sao. Có khi lại càng vui vẻ ra đi 😉

      hmhoang

      22/03/2012 at 09:46

  10. Thưa quý cô, Kinh dịch quẻ “Qui muội: viết: “Tay áo công chúa ko đẹp bằng tay áo cô phù dâu” hi hi . . .

    MT

    22/03/2012 at 06:56

  11. Xin kính chào Giáo sư Châu cùng các anh chị độc giả,

    Phía bên tay phải của blog này tôi có thấy lời Nhắn “Thichhoctoan giữ bản quyền các bài viết đăng trên Sổ tay. Đề nghị hỏi ý kiến khổ chủ trước khi đăng lại ở chỗ khác.”, nhưng tôi tìm mãi… vẫn không biết được làm cách nào liên hệ được với “khổ chủ” để xin phép. Cho nên tôi mạn phép được hỏi ở đây (xin lỗi Giáo sư cùng các anh chị vì comment này không liên quan gì đến bài viết ở trên). Nếu không may Giáo sư Châu không đọc được thì có anh chị nào biết xin chỉ giúp.

    Xin chân thành cảm ơn.

    • Bạn có thể cho đường dẫn. Nếu muốn đăng lại bài nào, bạn có thể đề nghị bằng cách comment dưới bài đó.

      Có một số bài đăng trên blog ở dạng chưa hoàn chỉnh. Tôi không muốn những bài viết chưa hoàn chỉnh bị đăng lại ở chỗ khác, vì còn không sửa được nữa. Xin cảm ơn.

      thichhoctoan

      12/04/2012 at 19:05

  12. Reblogged this on TCU Graduate Seminar and commented:
    a great application of Fourier analysis!
    Author: Prof. Ngo Bao Chau
    I will translate this to English soon.

    duyptnk

    06/07/2012 at 05:07

  13. Dear Prof. Ngo,

    Em doc qua thi hieu chung minh nay. Nhung co mot dieu em con chua ro: theo chung minh dung Fourier series thi` ngay ca trong truong hop \alpha huu ty, tinh phan bo deu van dung phai khong?

    Cam on giao su.

    Duy

    duyptnk

    06/07/2012 at 06:45

  14. Truong hop \alpha=0 thi ro rang la dinh ly nay khong dung. Trong chung minh dung chuoi Fourier tren thi em khong thay minh dung tinh vo ty cua \alpha o dau?

    duyptnk

    06/07/2012 at 06:50

    • Chứng minh không đúng với \alpha vô tỉ, bạn đọc kỹ xem.

      Chứng minh này là của H. Weyl. Tôi chỉ trình bày dựa theo sách của Stein và Shakarchi. Bạn lưu ý hộ điều này khi chép về blog của bạn.

      thichhoctoan

      06/07/2012 at 10:25

  15. Em se luu y dieu nay khi chep ve blog.
    Cam on giao su.

    duyptnk

    06/07/2012 at 21:47

  16. Bài này cho thấy lợi ích của biến đổi Fourier. GS có thể trình bày thêm một vài khía cạnh khác về xoay quanh vấn đề này được không: ví dụ như ý tưởng trực quan, tại sao nó lại có dạng exp(itx), do đâu (theo GS) mà Fourier lại tìm ra khai triển này?

    nta

    20/08/2012 at 21:42

  17. may bai nay sao kho hieu the nhi hinh nhu chuong trinh nay danh cho dai hoc thi phai

    phan thien long

    17/09/2012 at 15:17


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: