Thích Học Toán

Yêu ngôn

(cho hương hồn cụ Nguyễn)

Tôi còn nhớ như in cái cảm giác sung sướng lúc tự mò được cái chứng minh đầu tiên trong khi cùng bác Hứa Thuần Phỏng đi theo nẻo đường “Định lý hình học và các phương pháp chứng minh”. Tôi không phải là một trường hợp cá biệt. Học hình phẳng là một dịp tuyệt vời cho trẻ nhỏ có dịp làm quen và tự mầy mò với những chứng minh logic chặt chẽ từ đầu đến cuối.

Tác phẩm Cơ sở của Euclid là một bộ phận của cái gọi là phép mầu Hy lạp. Ở xứ này, lần đầu tiên con người có ý thức về khả năng chứng minh dựa trên có sở của logic hình thức, và do đó không thể bắt bẻ được. Nó là một bước tiến rất xa so với các nền văn minh cùng thời nơi toán học có thể rất phát triển nhưng chỉ phát triển như một công cụ đo đạc trực tiếp phục vụ cuộc sống hàng ngày. Thực ra, định lý Pythagore đã được chứng minh ở Ấn độ từ 600 năm, ở Trung Quốc từ 500 năm trước công nguyên, tức là 200 năm trước khi bộ sách Cơ sở ra đời.  Những khám phá thú vị này không làm lung lay lý thuyết về phép mầu nhiệm Hy lạp. Trong khi Á đông đặt trọng tâm vào Nghĩa và coi thường Ngữ (pháp), ở Hy lạp người ta đã có ý thức về sức mạnh của ngôn ngữ.

Mô tả vẫn là phương pháp yêu thích của con người để nhận thức thế giới. Ngôn ngữ cần được cải thiện liên tục để giúp ta nhận thức sự đa dạng và sự tinh tế của vạn vật. Để có câu trả lời thỏa đáng cho một câu hỏi, cần thiết lập một ngôn ngữ phù hợp để xây con đường đi từ cái đã biết đến cái chưa biết. Trong phạm vi một ngôn ngữ thích hợp, câu hỏi tưởng hóc búa trở nên hiển nhiên.

Sự ra đời của một ngôn ngữ tự nó lại lẩy ra nhiều câu hỏi nội tại đòi được trả lời.  Trong số đó, những câu hỏi hóc búa nhất đến lượt nó, lại kêu gọi sự ra đời của một ngôn ngữ mới. Và như thế, ngôn ngữ sau được xây dựng trên nền tảng của ngôn ngữ trước và tạo nên sự phát triển không ngừng của trí tuệ con người. Dù bị hạn chế nhiều bởi tính cơ khí của máy móc, sự chồng chất này cũng được thể hiện rất rõ trong khoa học máy tính. Chính tư duy hình thức đã cho người phương tây cái can đảm để đứng lên vai của người khổng lồ.

Toán học thế kỷ hai mươi đã mục kích sự chuyển mình vĩ đại của hình học đại số. Toàn bộ cơ sở của hình học đại số đã được xây dựng lại trên cơ sở của lý thuyết phạm trù thay cho lý thuyết tập hợp. Sự chuyển mình này xuất phát hầu như hoàn toàn từ cố gắng của một người : Alexandre Grothendieck. Ông không ngần ngại viết vài ngàn trang chỉ với mục đích xây dựng lại một ngôn ngữ đủ giàu có, đủ trong sáng, để sao cho mỗi câu hỏi, mỗi vấn đề  có thể phát biểu tuân theo ngữ pháp của nó, chứ không theo một thứ ngữ pháp vay mượn.

Quay lại với hình học phẳng. Để giải một bài hình học phẳng, trước hết bạn phải vẽ hình. Vẽ hình là cách bạn mở cửa đón bài toán đi vào thế giới trực quan của riêng bạn. Trực quan hình học của bạn được hình thành qua quan sát cuộc sống hàng ngày. Phóng tầm măt theo hai vỉa hè phố Trần Hưng Đạo song hành mà hội tụ về một điểm nào đó ở chân trời đê sông Hồng là một cách chuẩn bị cho hình học xạ ảnh. Trực quan hình học cũng được hình thành từ lời giải cho những bài toán bạn đã làm trước đó. Nếu không có trực quan hình học, bạn không có cách nào tìm ra những định đề trung gian khéo léo nối từ giả thiết đến kết luận của bài toán.

Nhưng nếu chưa viết ra cái chứng minh của bạn dưới một ngôn ngữ tường minh và hình thức, bạn vẫn chưa hoàn thành bài tập mà ông Euclid giao cho. Viết ra chứng minh là một thay đổi cơ bản về chất : cái trực quan rất riêng của bạn đã trở thành một khách thể tồn tại độc lập với bạn. Về mặt nguyên tắc, người khác có thể đọc lại và hiểu, không cần phải mò mẫm lại con đường của bạn đi qua, không cần phải trải nghiệm lại những khó nhọc mà bạn đã gặp. Con đường gắn bó với bao buồn vui của ta, đối với người khác chỉ là một phương tiện để đi từ môt điểm A đến một điểm B. Nhưng đấy là cái giá phải trả để ta có quyền hy vọng rằng người khác sẽ đi xa hơn. Deligne viết thế này về một chứng minh lý tưởng mà không mấy khi, không mấy ai đạt tới : ”nothing should remain visible of the efforts it cost to reach an understanding.”

(Bài này đăng đã lâu trên blog Thích học toán cũ, nhớ đến nó vì có câu chuyện với Cơ sở Euclid)

 

Advertisements

Written by thichhoctoan

10/01/2014 lúc 04:44

Posted in Độc thoại

%d bloggers like this: