Thích Học Toán

Archive for the ‘Toán’ Category

Les nombres et les formes

Dans le seul papier qu’il a écrit sur la théorie des nombres “Sur les nombre premiers plus petits qu’une magnitude donnée”, Riemann a imprimé sa marque sur le développement de ce domaine pour des siècles qui suivent. Les nombres premiers dont l’apparition dans l’énumération des nombres naturels paraît si sporadique, suivent une loi de nature statistique plus simple qu’on pouvait s’y attendre. Riemann a montré que cette loi, le théorème des nombres premiers, est dictée par l’emplacement des zéros d’une seule fonction analytique, la fonction zeta. Il a aussi formulé son célèbre hypothèse sur l’emplacement de ces zéros qui reste encore un grand un grand mystère à ce jour. Le théorème des nombres premiers a été démontré plus tard par Hadamard et de la Vallée-Poussin lesquels s’appuient sur une forme faible de l’hypothèse de Riemann. Avant d’énoncer son hypothèse, Riemann a étudié les propriétés analytiques de sa fonction zeta qui incluent une équation fonctionnelle, une symétrie étonnante qui ne cesse de nous hypnotiser jusqu’à ce jour.

Dans sa dissertation inaugurale “Sur les hypothèses qui fondent la géométrie”, Riemann a apporté des idées qui ont profondément bouleversé ce qu’on entend même par géométrie avec des répercussions jusqu’à la théorie de la gravitation. Après Riemann, un nouvel accent est mis sur les formes d’objets géométrique, souvent de grande dimension, au détriment des propriétés particulières d’un tel triangle et des telles sections coniques.

Riemann lui-même n’a peut-être pas soupçonné l’existence de liens entre ses deux mémoires. Ces liens ont été découverts de fil en aiguille cours du vingtième siècle et souvent portaient des germes des développement de grande ampleur.

André Weil a mis en évidence l’analogie formelle entre la structure des nombres rationnels et celle des fonctions méromorphes sur une surface de Riemann par le biais des fonctions rationnelles sur une courbe définie sur un corps fini. Il a formulé l’analogie de l’hypothèse de Riemann pour les dernières et l’a démontrée par les outils de la géométrie algébrique. Avec audace, il a conjecturé que la forme de l’hypothèse de Riemann qu’il a démontrée ne devrait pas être limitée aux courbes, objets géométriques de dimension un mais devrait être valide en n’importe quelle dimension. Il a prophétisé l’existence des théorie homologique pour des variétés algébriques définies sur des corps finis dont on peut tirer l’analogue de l’hypothèse de Riemann des axiomes.

La première théorie homologique pour les espaces topologiques a été inventée par Henri Poincaré au début du vingtième siècle. Il s’agit de définir des invariants qu’on pourrait attacher aux espaces généraux dont le premier est certainement le genre des surfaces que Riemann a mis en évidence dans sa dissertation. L’intuition de Weil que ces invariants topologiques du monde des formes devrait se propager aux variétés algébriques sur les corps finis qui appartiennent a priori au monde des nombres est aussi audacieuse que féconde. Le développement extraordinaire de la géométrie algébrique du milieu du vingtième siècle sous l’égide de Grothendieck a été fortement motivé par la construction des théories homologique de Weil. Ces développements ont été couronnés par la démonstration de l’hypothèse de Riemann pour les variétés algébriques définies sur les corps finis par Deligne au début des années 70.

Un peu avant la preuve des conjectures de Weil par Deligne, Langlands a formulé un ensemble de conjectures dont l’audace rivale et peut-être dépasse celles de Weil. Il a mis en évidence toute une famille de fonctions analytiques, des fonctions L lesquelles seraient attachées au formes automorphes aussi découvertes par Poincaré. Les fonctions L automorphes sont définies par une procédure qui rappelle celle qui donne naissance à la fonction zeta de Riemann et forment la famille naturelle dont la fonction zeta est un membre. Langlands a conjecturé que ses fonctions L ont un prolongement analytique et satisfont une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zeta. Il a relié cette conjecture aux structures régissant les représentations linéaires des groupes de Lie. Il a aussi conjecturé que les fonctions L automorphes portent en elles le plus clair des informations numériques des cohomologies de Weil des variétés algébriques définies sur nombres rationnels.

Les conjectures de Langlands ont transformé profondément la recherche en théorie des nombres. En particulier, elles ont rendu possible l’avancée spectaculaire de Wiles dans les année 90 sur la conjecture de Tanyiama-Weil sur les courbes elliptiques, aboutissant à la première démonstration du dernier théorème de Fermat. Des années 90 ont aussi été témoins de la naissance d’une toute nouvelle branche des mathématiques, la théorie de Langlands géométrique initiée par Drinfeld et Gérard Laumon. Il s’agit de nouveau un lien fécond entre le monde concret des nombres et le monde abstrait des formes géométriques.

Mes propres travaux, se situant dans la continuité de ceux de Drinfeld et Laumon, portent sur ce que Langlands a appelé le lemme fondamental, un nom qui sous-entend quelque chose de nature un peu technique. Il s’agit des égalités entre centaines intégrales orbitales qui apparaissent dans l’analyse harmonique sur les groupes de Lie. L’étendue des difficultés s’avérait plus grande que ce à quoi on pouvait s’attendre de première vue car les nombres qui mesurent ces intégrales orbitales sont encore à ce jour incalculables. La résolution du lemme fondamental s’appuie sur l’idée que l’égalité entre ces nombres mystérieux devrait résulter de la comparaison entre certaines formes géométriques. En particulier, des objets géométriques reliés à la mécanique classique, en l’occurrence aux mouvements des toupies, qu’on appelle des systèmes complètement intégrables de Hitchin, ont été capables d’expliquer le lemme fondamental de Langlands.

Il me semble que depuis l’antiquité jusqu’à nos jours, le mathématicien est toujours à la recherche d’un lien tant tôt solide et éclatant, tant tôt ténu et mystérieux entre le monde des nombres et celui des formes. Ces deux mondes ne cessent de s’éclairer et nous éclairent par la même occasion.

En rappelant des noms illustres don’t beraucoup a fait partie de cette assemblée, je mesure toute l’honneur que vous m’avez faite en m’admettant en son sein.

Je vous remercie pour votre attention.

Written by thichhoctoan

26/06/2017 at 14:08

Posted in Toán

Kiến bò đi đâu – Nhặt từ blog cũ

with 40 comments

picture-23

Bác Vũ Hà Văn có ra câu đố này, treo bên trang Khoa học máy đếm. Chép lại để các bạn thử cho vui.

Có 10 con kiến trên một que 1 mét. Từng con kiến bắt đầu bò sang trái hoặc phải tùy hỉ, dọc theo que, với tốc độ 1 mét/giờ. Khi hai con kiến đụng đầu nhau chúng sẽ đổi hướng. Khi một con bò đến đầu que thì nó rới xuống đất. Hỏi: khi nào thì tất cả kiến rơi xuống đất?

Tranh minh họa của Escher vẽ kiến không ăn nhập lắm với nội dung bài toán. Trong bài toán, phạm vi hoạt động của các con kiến là một đa tạp một chiều rất tầm thường. Trong hình vẽ, chúng sinh sống trên lá của Mobius. Đây là ví dụ đơn giản nhất của một đa tạp hai chiều không định hướng đươc. Vì không định hướng được, nên các chú kiến của chúng ta cứ bò lổm ngổm mà không biết đâu là trước là sau, đâu là phải là trái. Thôi thì cứ lổm ngổm như vậy còn hơn là rơi tòm vào lỗ đen.

Còn đây là lời giải cho câu đố của bác Văn.

Bác Văn cấp cho mỗi con kiến một cái mũ đánh số từ 1 đến mười. Khi hai con kiến đụng độ nhau, thay vì đổi hướng, hai con kiến sẽ đổi mũ cho nhau. Trong bài toán mới này, hiển nhiên sau một giờ, cả mười con Kiến đều rơi vào mồm bác Văn đã há sẵn. Nếu có đo đạc trước, bác Văn còn có thể há mồm đúng lúc chúng rụng, khỏi bị bệnh há miệng mắc quai. Bài toán này dễ hơn bài cũ vì kiến chỉ đổi mũ, không đổi hướng. Để tìm lại bài cũ, ta chỉ cần xác định hoán vị đổi mũ. Hoán vị này còn được phân tích thành tích của các chuyển vị (transposition) tương ứng với các vụ đụng độ. Độ dài tối đa của một hoán vị là n(n-1)/2 trong trường hợp có n con kiến. Nhưng trong bài toán này, vì có một số kiến đi sang phải, một số đi sang trái, trong mỗi nhóm không chuyển vị với nhau, nên số lần đụng độ tối đa sẽ là n^2/4 nếu số kiến n là chẵn, và (n^2-1)/4 nếu n lẻ. Bác Văn thì không quan tâm lắm đến hoán vị, miễn là cả đàn kiến chui vào mồm là được.

Written by thichhoctoan

06/05/2013 at 19:38

Posted in Toán

Nhìn lại một năm

with 2 comments

Bài của GS. Hồ Tú Bảo đã đăng trên Tia Sáng.
*****

Một năm là quãng thời gian ngắn ngủi đối với một viện nghiên cứu, nhưng có thể nói một năm, và nhất là sáu tháng qua, Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán (VIASM) đã lặng lẽ hoạt động cho các mục tiêu và kế hoạch của mình, với sự tham gia và ủng hộ của đông đảo người Việt làm toán trong và ngoài nước, và nhiều nhà toán học xuất sắc trên thế giới.

Tuy đã bắt đầu hoạt động từ tháng 6 năm ngoái với các bài giảng của giáo sư Ngô Bảo Châu, các hoạt động chính của VIASM mới thực sự bắt đầu từ tháng 2 năm nay (2012), khi “nhóm tối ưu miền Nam” do giáo sư Phan Quốc Khánh của Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh chủ trì tới làm việc bốn tháng ở Viện (“Hình thức hoạt động chính của Viện là tổ chức các nhóm chuyên môn, tập hợp các nhà khoa học trong cùng một lĩnh vực đến làm việc ngắn hạn ở Viện.”, http://viasm.edu.vn/?page_id=36).

VIASM chủ trương tiến hành các hoạt động khoa học ngay khi ban giám đốc được bổ nhiệm và khi thuê được trụ sở tạm thời tại thư viện Tạ Quang Bửu của Đại học Bách khoa Hà Nội, cùng lúc với việc lập ban tư vấn quốc tế, hội đồng khoa học và văn phòng phục vụ cho các hoạt động của Viện. Các quy định về cách thức hoạt động, tiêu chí tuyển nghiên cứu viên và nhóm nghiên cứu, xét chọn các đề tài và nhóm nghiên cứu cho năm 2012 và 2013, tôn tạo 10 phòng làm việc khang trang cho các nghiên cứu viên, làm trang web của Viện… cũng được tiến hành trong thời gian này.

Điều dễ nhận thấy là sự minh bạch trong các hoạt động của Viện, với mọi thông tin như đề tài, nhân sự và kinh phí được nêu một cách rõ ràng trên trang web của Viện bằng tiếng Việt và tiếng Anh (http://viasm.edu.vn).

Một điều vẫn đáng bàn là tại sao lại nên có VIASM ở Việt Nam, điều mà nhiều người kể cả nhiều nhà khoa học vẫn còn băn khoăn. Một lý do là khi nhìn các nhà toán học làm việc ta thường chỉ thấy họ dùng giấy và bút hay bảng và phấn, nhưng ít thấy là họ cần và phải trao đổi rất nhiều với đồng nghiệp để hiểu các vấn đề phức tạp và hình thành các ý tưởng, và rồi cặm cụi tìm cách chứng minh chúng. Chính vì vậy nhiệm vụ chính của VIASM là cung cấp cơ hội để những người làm toán trong cùng một lĩnh vực đến đây (ít nhất là hai tháng) cùng trao đổi về những bài toán của mình.

Một lý do cơ bản khác là trong mấy trăm trường đại học và cao đẳng trên cả nước có hàng nghìn người dạy toán và nếu trong số này không có một vài trăm người làm nghiên cứu thì dễ có lúc các thầy cô dạy toán đại học của ta choáng ngợp về sự phát triển của toán học trên thế giới và có thể bị “cóng” mà không dạy nổi nữa. Để một vài trăm người này làm nghiên cứu theo được trình độ quốc tế, họ cần được hỗ trợ, như có những quãng thời gian đến làm việc ở VIASM với các chuyên gia. Những người làm toán hiểu sâu sắc rằng mục tiêu phát triển toán học của ta không phải vì một vị trí xếp hạng nào đó trên thế giới, mà để nâng chất lượng nghiên cứu và ứng dụng toán học, góp phần của toán học vào nền khoa học và công nghệ còn non yếu của ta, thậm chí để nuôi dưỡng và giữ được lực lượng nghiên cứu toán học của ta trong những năm tới.

Để được chọn đến VIASM làm việc, những người làm toán phải tập hợp được thành các nhóm với các đề tài có giá trị. Hai yêu cầu cơ bản là mỗi nhóm phải có một người chủ trì có uy tín về chuyên môn và phải mời được một vài chuyên gia loại hàng đầu thế giới cùng chuyên ngành đến làm việc ở VIASM với mình trong thời gian tối thiểu là hai tuần. Việc mời được các chuyên gia uy tín phụ thuộc vào quan hệ quốc tế của người chủ trì nhóm, và phụ thuộc rất nhiều vào uy tín của giám đốc khoa học của Viện (ở châu Á, giáo sư Ngô Bảo Châu là người thứ tư được giải Fields, sau ba nhà toán học người Nhật). Có thể hiểu việc có các chuyên gia uy tín quốc tế thường xuyên đến làm việc cộng với điều kiện làm việc tốt, phù hợp với ngành toán của VIASM là nghĩa chính của hai chữ “cao cấp” trong tên gọi Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán.

Cách hoạt động hỗ trợ các nhà toán học đúng với đặc trưng ngành toán như ở VIASM đã phổ biến trên thế giới lâu nay, không chỉ ở các nước có nền toán học rực rỡ như Mỹ, Pháp, Nhật.. mà còn ở nhiều nước quanh ta như Ấn Độ, Hàn Quốc, Pakistan, Malaysia… Tuy nhiên, có những điều kiện cần để một viện như vậy có thể hiệu quả, như một người phụ trách có uy tín quốc tế cao.

Nhiều người có thể sẽ ngạc nhiên khi biết kinh phí dành cho VIASM không nhiều như có lúc đã thấy trên báo chí (thực ra 651 tỷ đồng là kinh phí cho ngành toán cả nước trong quãng thời gian 2010-2020). Trang web của VIASM cho biết Viện được cấp 4,4 tỷ VNĐ cho năm 2011 và 15 tỷ VNĐ cho năm 2012 (http://viasm.edu.vn/?page_id=3801). Kinh phí của VIASM năm 2012 như vậy là quãng 0,75 triệu USD, một con số thật khiêm tốn nếu so sánh với kinh phí 20 triệu USD hằng năm của Viện Toán cao cấp của Hàn Quốc, hoặc gấp quãng 8 lần kinh phí trung bình hàng năm của một giáo sư tại viện Viện Khoa học và Công nghệ Tiên tiến Nhật Bản (JAIST) ở Nhật.

Việc tuyển chọn các đề tài đến làm việc tại VIASM được hội đồng khoa học tiến hành nghiêm túc. Mỗi hồ sơ đề tài đều được đọc và thảo luận bởi toàn bộ 14 thành viên hội đồng sau khi nghe nhận xét chi tiết của ít nhất hai thành viên có chuyên môn gần với đề tài, và quyết định bởi giám đốc khoa học của Viện. Trong bốn tháng vừa qua, VIASM đã đem nhiều người làm toán trên cả nước, từ Cần Thơ, thành phố Hồ Chí Minh, Đà Lạt, Quy Nhơn, Huế… và Hà Nội tới làm việc ở Viện.

Điều đáng nói là VIASM đã và đang là cầu nối và nơi đến của rất nhiều người Việt đang làm toán ở nước ngoài. Có VIASM những người làm toán này có thêm nơi để trở về góp sức với anh em làm toán trong nước. Họ về để chia sẻ với các đồng nghiệp trong nước những gì họ biết và đang làm. Riêng tại hội nghị toán học Việt-Pháp vào cuối tháng 8 năm nay ở Huế do Hội Toán học Việt Nam và Hội Toán học Pháp tổ chức với sự tham gia tích cực của VIASM, đã có hơn 50 nhà toán học người Việt ở nước ngoài đăng ký tham gia.

Cũng rất đáng nói là VIASM là nơi để nhiều nhà toán học lừng danh thế giới đến giúp đỡ các đồng nghiệp Việt Nam. Căn hộ công vụ nhà nước cấp cho giáo sư Ngô Bảo Châu được dùng làm chỗ ở cho các giáo sư nước ngoài đến làm việc ở VIASM, khi anh không ở Việt Nam. Nhiều người trong số họ, như giáo sư Thomas Hales từ Đại học Pittsburgh, có sở thích hằng ngày đi bộ từ tòa nhà có căn hộ này đến VIASM, đi trong cái nắng nóng và ồn ào xe cộ của Hà Nội.

Khuyến khích toán học ứng dụng

Điều cuối cùng tôi muốn nói là trong khi phần lớn các đề tài của VIASM là về các nội dung của toán học lý thuyết, thì ban giám đốc và hội đồng khoa học của VIASM cũng rất khuyến khích và ủng hộ các đề tài về toán học ứng dụng và toán học trong các khoa học khác. Riêng năm 2012 VIASM đã nhận hai đề tài về toán học trong khoa học máy tính (công nghệ thông tin). Một về các thuật toán tiến hoá để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu, và một về các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy.

Đề tài “Các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy” tại VIASM là một đề tài chuyên biệt, gồm hoạt động nghiên cứu của một nhóm mười người cùng các bài giảng cho đông đảo người quan tâm về lĩnh vực này. Học máy (machine learning), còn gọi học tự động nhằm làm cho máy có một số khả năng học tập của con người là một trong những lĩnh vực phát triển sôi động của khoa học máy tính trong vòng hai chục năm vừa qua. Chính Bill Gates cũng cho là “mỗi đột phá trong ngành học máy có thể đáng giá mười Microsoft” (“a breakthrough in machine learning would be worth ten Microsofts”).

Bản chất của học máy là việc làm cho máy tính tự động phân tích được các tập dữ liệu lớn và phức tạp thu được từ mô tả và quan sát các hiện thực trong tự nhiên và xã hội giúp con người hiểu và dùng chúng. Ứng dụng của học máy có ở bất kỳ nơi đâu có những tập dữ liệu cần khai thác, như phân tích rủi ro trong hoạt động tài chính; dự đoán bệnh tật và hiệu quả của các loại thuốc; tìm kiếm thông tin trên web như ta vẫn dùng Google; tự động biết về nhu cầu và sở thích của khách hàng trong kinh doanh; dịch một văn bản từ tiếng Anh sang tiếng Việt…

Đáng kể là trong vòng hơn một thập kỷ vừa qua, có một sự phát triển mạnh mẽ nhằm tạo ra và đưa các phương pháp toán học vào học máy tiêu biểu là các phương pháp đại số, đồ thị, tối ưu, giải tích hàm và xác suất thống kê để giải các bài toán khó của lĩnh vực này. Học máy là một ví dụ tiêu biểu cho thấy toán học có vai trò quyết định trong một khoa học khác, và những lý thuyết toán học hiện đại đang được dùng vào những ứng dụng rất thiết thực.

Các phương pháp học máy thống kê đã và đang thay đổi sâu sắc ngành học máy trong hơn một thập kỷ qua với những kết quả kỳ diệu. Tuy nhiên, sự phát triển quá nhanh và phong phú này đã làm một bộ phận lớn của cộng đồng nghiên cứu học máy trên thế giới bị tụt lại, và có lẽ cũng làm cho rất nhiều người làm nghiên cứu và ứng dụng học máy ở Việt Nam không theo kịp.

Đề tài học máy thống kê tại VIASM từ giữa tháng 6 đến giữa tháng 8 năm nay do một số giáo sư người Việt đang nghiên cứu trong lĩnh vực này tại Nhật, Mỹ, Úc chủ trì với sự tham gia của giáo sư John Lafferty từ Đại học Chicago, một chuyên gia học máy hàng đầu thế giới. Các lớp học của đề tài đã thu hút hơn 120 thầy cô giáo, cán bộ một số bộ ngành, công ty, nghiên cứu sinh và sinh viên trên cả nước đăng ký tham gia (http://viasm.edu.vn).

Năm hoạt động đầu tiên này cho phép ta hy vọng và tin rằng VIASM sẽ đạt được những mục tiêu của mình trong những năm tiếp theo.

Written by thichhoctoan

05/07/2012 at 14:58

Posted in Bạn bè viết, Toán

GS Bảo học máy

with 5 comments

Đến Viện nghiên cứu cao cấp về toán dự Chương trình chuyên biệt “Các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy”, bạn sẽ tìm được câu trả lời cho câu hỏi: GS Bảo học máy hay là máy học GS Bảo.
Để theo dõi diễn biến của câu chuyện mang đầy tính thời sự này, mời bạn xem tiếp ở đây và ở đây.

Written by thichhoctoan

19/06/2012 at 05:25

Posted in Toán

Học hè

with 42 comments

Trong tháng bảy và tháng tám, tôi sẽ tổ chức một lớp học về lý thuyết số ở VIASM. Các học viên sẽ tự đọc tài liệu, tự trình bày rồi cả lớp sẽ cùng thảo luận. Lớp học sẽ bắt đầu từ những bài toán với phát biểu tương đối sơ cấp trong số học và tìm hiểu phương pháp giải tích để giải quyết những bài toán đó. Tài liệu tham khảo là cuốn sách Introduction to analytic number theory của Chandrasekharan. Đối tượng của lớp học là sinh viên khoa toán những năm cuối.

Cũng về số học, ở VIASM sẽ có sinh hoạt chuyên đề về công trình gần đây của Bhargava về hạng trung bình của đường cong elliptic. Tuy phương pháp của Bhargava tương đối sơ cấp, seminar chắc chắn sẽ khó theo hơn lớp học.

Bạn cần đăng ký bằng cách gửi email về địa chỉ hoche.viasm at gmail.com. Các bạn ở tỉnh xa có thể đề nghị VIASM hỗ trợ kinh phí đi lại ăn ở. Trong thư, ngoài tên tuổi, địa chỉ, trường học, bạn sẽ trả lời ba câu hỏi :

1) Học hè : Y/N.  2) Seminar : Y/N. 3) Hỗ trợ : Y/N

gửi kèm bảng điểm và thư giới thiệu của giáo viên. Vì kinh phí chung cũng như sức chứa của phòng học đều hạn chế, không phải tất cả những người đăng ký đều sẽ được nhận đến học (hoặc được hỗ trợ kinh phí).

Hạn cuối cùng để đăng ký là 15/5. Tôi sẽ lên danh sách lớp trước ngày 20/5.

Sau khi lên danh sách lớp, tôi sẽ gửi tài liệu và phân bài cho các bạn cùng đọc.

(Thông báo này tạm đăng ở đây trong khi chờ trang mạng mới của VIASM đi vào hoạt động)

Written by thichhoctoan

28/04/2012 at 01:05

Posted in Toán

Phân bố đều

with 34 comments

Một bài toán kinh điển trong luyện thi học sinh giỏi là bài này. Chứng minh rằng nếu {\alpha} là số vô tỷ, dãy các số {n\alpha -[n\alpha]}, phần thập phân của {n\alpha} với {n\in \mathbb N} biên thiên, trù mật trong đoạn {[0,1]}. Lời giải dựa trên nguyên lý Dirichlet, còn được gọi là nguyên lý chuồng thỏ hoặc chuồng bồ câu tùy vào khu vực địa lý nơi bạn sinh sống.

Dùng chuỗi Fourier, Hermann Weyl chứng minh định đề mạnh hơn nhiều. Ông chứng minh rằng tập các phần thập phân {n \alpha - [n \alpha]} phân bố đều trên đoạn {[0,1]}. Nếu lấy một đoạn con {[a,b]} nằm giữa 0 và 1, xác suất để {n \alpha - [n \alpha]} rơi vào trong đoạn này đúng bằng {b-a}.

Gọi {I_{[a,b]}} là hàm đặc trưng của đoạn {[a,b]}, cái bạn muốn chứng minh là dãy số

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N I_{[a,b]} (n \alpha-n[\alpha])

có giới hạn đúng bằng {b-a} khi {N} tiến ra vô cùng. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

11/03/2012 at 16:10

Posted in Toán

Tagged with ,

Phạm trù và đồng luân (2)

with one comment

Phải thừa nhận là “Phạm trù và đồng luân (1)” rất khó hiểu, không chỉ đối với người đọc mà cả đối với người viết 🙂 Tôi đã mắc khuyết điểm là kéo bạn đi quá nhanh, đi từ những cái bạn biết là không gian tô pô, ánh xạ liên tục đến những chỗ mà cả bạn lẫn tôi và thực ra cả nhân loại chưa hiểu rõ, đó là đồng luân cấp cao.

Bây giờ là lúc bạn nhẩn nha quay chậm lại cuộn phim để níu kéo lại một chút gì hữu hình cho bạn. Bạn có một không gian tô pô {X}. Bạn xét các điểm của {X}, rồi xét các đoạn thẳng trong {X} tức là các ánh xạ liên tục {[0,1] \rightarrow X}, rồi các hình vuông trong {X} tức là các ánh xạ liên tục {[0,1]^2 \rightarrow X}, rồi hình vuông ba chiều (lập phương), rồi hình vuông {n } chiều.

Cố định một điểm qui chiếu {x\in X }. Nhóm cơ bản {\pi_1(X,x )} là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) các đoạn thẳng xuất phát và kết thúc tại điểm {x }, tức là ánh xạ {f:[0,1] \rightarrow X } với {f(0)=f(1)=x}. Nói cách khác thì f là một ánh xạ liên tục từ hình tròn {S^1} vào {X }. Khi bạn buộc hai đầu mút của đoạn {[0,1]} lại với nhau, nó trở thành cái gì đó giống như hình tròn.

Phần tử đơn vị của {\pi_1(X,x)} là lớp của ánh xạ hằng {e:[0,1] \rightarrow X } với {e(\alpha)=x } với mọi {\alpha \in [0,1]}. Đồng luân của {e} với chính nó là một ánh xạ liên tục {f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow X } nhận giá trị {x} trên biên của hình vuông. Nói cách khác {f} là một ánh xạ liên tục từ mặt cầu {S^2} vào {X }. Tưởng tượng hình vuông như một cái mù soa, khi bạn buộc biên của mù soa lại, nó trở thành cái gì đó giống như mặt cầu. Như vậy nhóm đồng luân cấp hai {\pi_2(X,x)} là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục {S^2 \rightarrow X} gửi một điểm qui chiếu của mặt cầu (nơi biên của hình vuông chập lại) lên điểm qui chiếu {x} của {X}. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

02/03/2012 at 04:56

Posted in Toán

Tagged with ,