Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Định thức

Định thức, kết thức và biệt thức

leave a comment »

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai a x^2+b x+c=0 nằm ở cái biệt thức \Delta=b^2-4ac. Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính f:V \to V từ một k-không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng \det(f) \in V thỏa mãn tính chất \det(fg)=\det(f)\det(g)\det(f)\not= 0 khi và chỉ khi f khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức p,q \in k[t] là một số r \in k. Giả sử \alpha_1,\ldots,\alpha_m\beta_1,\ldots,\beta_n là các nghiệm có thể có lặp của pq trong một đóng đại số \bar k của k, ở đây m,n là bậc của p,q. Khi đó r=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n (\alpha_i-\beta_j) \in \bar k bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của k. Như vậy r\not =0 khi và chỉ khi p,q nguyên tố cùng nhau. Đọc tiếp »

Advertisements

Written by thichhoctoan

17/11/2011 at 03:44

Posted in Toán

Tagged with ,

Tăng xờ toàn tập

with 4 comments

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên một trường k. Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian V\otimes_k V' các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một k-không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}. Ta ký hiệu nó là k^{V\times V'}. Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng \alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n) với các vô hướng \alpha_i\in k. Sau đó, ta xét không gian con W của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng (v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2), (v,\alpha v')-\alpha (v,v') và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí vv'. Ta đặt V\otimes_k V' là không gian vec-tơ thương của k^{V\times V'} chia cho không gian con W.

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ (v,v') trong V\otimes V'v\otimes v'. Các vec-tơ v\otimes v' lập thành một hệ sinh của V\otimes V' nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của W trong V\otimes V' bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính  v\otimes(v'_1+v'_2)-v\otimes v'_1-v \otimes v'_2=0v\otimes (\alpha v') -\alpha (v\otimes v')=0 và các quan hệ tương tự khi vv' trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng V\otimes V' với các vec-tơ v\otimes v' làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

15/11/2011 at 02:35

Posted in Toán

Tagged with , ,