Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Hamilton

Hai chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton

with 9 comments

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng a(t) của ma trận vuông x bậc n là định thức của ma trận t{\rm id}_n - x. Đây là một đa thức biến t có bậc bằng n

a= t^n -a_1 t^{n-1}+\cdots + (-1)^n a_n

với a_1=tr(x), a_2= tr(\wedge^2 x), … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, a là một đa thức có biến t với hệ số phụ thuộc vào  x.

Với định nghĩa như trên, ta có a(x)=0 với a(x) là ma trận có được khi ta thế x vào biến t.

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem x là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng x là ma trận với hệ số trong một trường k, chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu x là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho V là một không gian vec tơ n chiều trên trường k với e_1,\ldots,e_n là cơ sở. Cho M là mo đun tự do hạng n trên vành đa thức cũng với cơ sở là e_1,\ldots,e_n.  Bạn có V\subset M như không gian vec tơ con trên k chứ không phải như k[t]-mo đun vì bản thân V chưa được trang bị cấu trúc k[t]-mo đun. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

17/11/2011 at 04:07

Posted in Toán

Tagged with , , ,