Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Vết

Tăng xờ toàn tập

with 4 comments

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên một trường k. Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian V\otimes_k V' các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một k-không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}. Ta ký hiệu nó là k^{V\times V'}. Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng \alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n) với các vô hướng \alpha_i\in k. Sau đó, ta xét không gian con W của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng (v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2), (v,\alpha v')-\alpha (v,v') và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí vv'. Ta đặt V\otimes_k V' là không gian vec-tơ thương của k^{V\times V'} chia cho không gian con W.

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ (v,v') trong V\otimes V'v\otimes v'. Các vec-tơ v\otimes v' lập thành một hệ sinh của V\otimes V' nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của W trong V\otimes V' bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính  v\otimes(v'_1+v'_2)-v\otimes v'_1-v \otimes v'_2=0v\otimes (\alpha v') -\alpha (v\otimes v')=0 và các quan hệ tương tự khi vv' trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng V\otimes V' với các vec-tơ v\otimes v' làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Đọc tiếp »

Advertisements

Written by thichhoctoan

15/11/2011 at 02:35

Posted in Toán

Tagged with , ,