Thích Học Toán

Định thức, kết thức và biệt thức

leave a comment »

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai a x^2+b x+c=0 nằm ở cái biệt thức \Delta=b^2-4ac. Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính f:V \to V từ một k-không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng \det(f) \in V thỏa mãn tính chất \det(fg)=\det(f)\det(g)\det(f)\not= 0 khi và chỉ khi f khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức p,q \in k[t] là một số r \in k. Giả sử \alpha_1,\ldots,\alpha_m\beta_1,\ldots,\beta_n là các nghiệm có thể có lặp của pq trong một đóng đại số \bar k của k, ở đây m,n là bậc của p,q. Khi đó r=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n (\alpha_i-\beta_j) \in \bar k bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của k. Như vậy r\not =0 khi và chỉ khi p,q nguyên tố cùng nhau.

Nếu pq nguyên tố cùng nhau, mọi phần tử x\in k[t] đều có thể viết được dưới dạng x=p y+ q z. Tất nhiên là cách viết này không duy nhất, nhưng nếu xét x\in k[t]/ (pq) như một lớp đồng dư modulo pq thì tồn tại duy nhất y\in k[t]/(q) và $z\in k[t]/(p)$ sao cho x=p y+ q z. Nói cách khác ánh xạ k[t]/(q) \times k[t]/(p) \to k[t]/(pq) cho bởi (y,z) \mapsto x=py+ qz là một song ánh tuyến tính. Nếu p là đa thức bậc m thì các phần tử \{1,\ldots, t^{m-1}\} tạo thành một có sở của không gian vec tơ k[t]/(p).  Tương tự như vậy nếu q là đa thức bậc n thì \{1,\ldots,t^{n-1}\} là có sở của k[t]/q còn \{ 1,\ldots,t^{m+n-1}\} là cơ sở của k[t]/(pq). Biểu diễn ánh xạ tuyến tính (y,z) \mapsto x=py+ qz theo các hệ cơ sở này, bác Sylvester vẽ được một cái ma trận có đinh thức đúng bằng kết thức r. Ta có thể xem định thức của ma trận Sylvester như là định nghĩa của kết thức.

Ta quan sát thấy kết thức là một hàm đa thức với biến số là các hệ số của pq. Trong hình học đại số, người ta ưa kể lại câu chuyện này dưới một hình thức khác. Xét vành đa thức A=k[p_1,\ldots,p_m,q_1,\ldots,q_m] và hai phần tử p,q\in A[t] cho bởi p=t^m+p_1 t^{m-1}+\cdots+p_mq=t^n+q_1 t^{n-1}+\cdots+q_n. Mo đun thương A[t]/(p) là một A mo đun tự do có cơ sở là \{1,t,\ldots,t^{m-1}. Hai thương A[t]/(q)A[t]/(pq) cũng là các A mo đun tự do có hạng bằng nm+n với cơ sở tương tự. Ánh xạ k[t]/(q) \times k[t]/(p) \to k[t]/(pq)  cho bởi(y,z) \mapsto x=py+ qz là ánh xạ A-tuyến tính. Qui chiếu theo các cơ sở kể trên, ánh xạ có ma trận là ma trận Sylvester. Định thức của nó là một phần tử của A chính là là kết thức.

Từ góc nhìn của hình học đại số, Spec(A) là một không gian tham số các cặp đa thức (p,q) có bậc (m,n) và có hệ số đầu bằng một. Không điểm của kết thức r\in A chính là tập các các cặp (p,q) có một thừa số chung không tầm thường. Kết thức r được định nghĩa như một định thức của một ánh xạ tuyến tính giữa hai phân thớ vec tơ trên Spec(A).

Biệt thức (discriminant) \Delta của đa thức p được định nghĩa như kết thức của p và đạo hàm p'. Cho A=k[p_1,\ldots,p_n]p=t^n+p_1 t^{n-1}+\cdots+p_n \in A[t]. Biệt thức \Delta(p)r(p,p') với p'=n t^{n-1}+\cdots+p_n. Nếu gán cho các biến p_1,\ldots,p_n các giá trị cụ thế trong $\bar k$ sao cho đa thức p có nghiệm \alpha_1,\ldots,\alpha_n thì biệt thức \Delta(p) sẽ bằng \prod_{i\not= j} (\alpha_i-\alpha_j).

Coi Spec(A) như không gian tham số các đa thức p bậc n với hệ số đầu bằng một, tập các không điểm \Delta \in A là tập các đa thức p có nghiệm bội. Hình học của tập |\Delta| các không điểm của \Delta là một nguồn cảm hứng cho tô pô. Nếu k là trường số phức, phần bù của |\Delta| có nhóm cơ bản là nhóm bện (braid group) B_n và là một không gian K(B_n,1). Nhà toán học người Nga, Vladimir Arnold có viết mấy bào báo rất hay về chủ đề này. Thực ra ông ấy viết rất nhiều chuyện hay ho khác, nhưng bản thân tôi mới chỉ đọc mấy bài về nhóm bện. Xin ngả mũ chào ông.

Advertisements

Written by thichhoctoan

17/11/2011 lúc 03:44

Posted in Toán

Tagged with ,

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: