Thích Học Toán

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai nằm ở cái biệt thức . Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính từ một -không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng thỏa mãn tính chất và khi và chỉ khi khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức là một số . Giả sử và là các nghiệm có thể có lặp của và trong một đóng đại số của , ở đây là bậc của . Khi đó bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của . Như vậy khi và chỉ khi nguyên tố cùng nhau.

Nếu và nguyên tố cùng nhau, mọi phần tử đều có thể viết được dưới dạng . Tất nhiên là cách viết này không duy nhất, nhưng nếu xét như một lớp đồng dư modulo thì tồn tại duy nhất và $z\in k[t]/(p)$ sao cho . Nói cách khác ánh xạ cho bởi là một song ánh tuyến tính. Nếu là đa thức bậc thì các phần tử tạo thành một có sở của không gian vec tơ .  Tương tự như vậy nếu là đa thức bậc thì là có sở của còn là cơ sở của . Biểu diễn ánh xạ tuyến tính theo các hệ cơ sở này, bác Sylvester vẽ được một cái ma trận có đinh thức đúng bằng kết thức . Ta có thể xem định thức của ma trận Sylvester như là định nghĩa của kết thức.

Ta quan sát thấy kết thức là một hàm đa thức với biến số là các hệ số của và . Trong hình học đại số, người ta ưa kể lại câu chuyện này dưới một hình thức khác. Xét vành đa thức và hai phần tử cho bởi và . Mo đun thương là một mo đun tự do có cơ sở là . Hai thương và cũng là các mo đun tự do có hạng bằng và với cơ sở tương tự. Ánh xạ   cho bởi là ánh xạ -tuyến tính. Qui chiếu theo các cơ sở kể trên, ánh xạ có ma trận là ma trận Sylvester. Định thức của nó là một phần tử của chính là là kết thức.

Từ góc nhìn của hình học đại số, là một không gian tham số các cặp đa thức có bậc và có hệ số đầu bằng một. Không điểm của kết thức chính là tập các các cặp có một thừa số chung không tầm thường. Kết thức được định nghĩa như một định thức của một ánh xạ tuyến tính giữa hai phân thớ vec tơ trên .

Biệt thức (discriminant) của đa thức được định nghĩa như kết thức của và đạo hàm . Cho và . Biệt thức là với . Nếu gán cho các biến các giá trị cụ thế trong $\bar k$ sao cho đa thức có nghiệm thì biệt thức sẽ bằng .

Coi như không gian tham số các đa thức bậc với hệ số đầu bằng một, tập các không điểm là tập các đa thức có nghiệm bội. Hình học của tập các không điểm của là một nguồn cảm hứng cho tô pô. Nếu là trường số phức, phần bù của có nhóm cơ bản là nhóm bện (braid group) và là một không gian . Nhà toán học người Nga, Vladimir Arnold có viết mấy bào báo rất hay về chủ đề này. Thực ra ông ấy viết rất nhiều chuyện hay ho khác, nhưng bản thân tôi mới chỉ đọc mấy bài về nhóm bện. Xin ngả mũ chào ông.