Định thức, kết thức và biệt thức
Chép lại từ blog cũ.
Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai nằm ở cái biệt thức
. Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.
Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính từ một
-không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng
thỏa mãn tính chất
và
khi và chỉ khi
khả nghịch.
Kết thức (resultant) cuả hai đa thức là một số
. Giả sử
và
là các nghiệm có thể có lặp của
và
trong một đóng đại số
của
, ở đây
là bậc của
. Khi đó
bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của
. Như vậy
khi và chỉ khi
nguyên tố cùng nhau.
Nếu và
nguyên tố cùng nhau, mọi phần tử
đều có thể viết được dưới dạng
. Tất nhiên là cách viết này không duy nhất, nhưng nếu xét
như một lớp đồng dư modulo
thì tồn tại duy nhất
và $z\in k[t]/(p)$ sao cho
. Nói cách khác ánh xạ
cho bởi
là một song ánh tuyến tính. Nếu
là đa thức bậc
thì các phần tử
tạo thành một có sở của không gian vec tơ
. Tương tự như vậy nếu
là đa thức bậc
thì
là có sở của
còn
là cơ sở của
. Biểu diễn ánh xạ tuyến tính
theo các hệ cơ sở này, bác Sylvester vẽ được một cái ma trận có đinh thức đúng bằng kết thức
. Ta có thể xem định thức của ma trận Sylvester như là định nghĩa của kết thức.
Ta quan sát thấy kết thức là một hàm đa thức với biến số là các hệ số của và
. Trong hình học đại số, người ta ưa kể lại câu chuyện này dưới một hình thức khác. Xét vành đa thức
và hai phần tử
cho bởi
và
. Mo đun thương
là một
mo đun tự do có cơ sở là
. Hai thương
và
cũng là các
mo đun tự do có hạng bằng
và
với cơ sở tương tự. Ánh xạ
cho bởi
là ánh xạ
-tuyến tính. Qui chiếu theo các cơ sở kể trên, ánh xạ có ma trận là ma trận Sylvester. Định thức của nó là một phần tử của
chính là là kết thức.
Từ góc nhìn của hình học đại số, là một không gian tham số các cặp đa thức
có bậc
và có hệ số đầu bằng một. Không điểm của kết thức
chính là tập các các cặp
có một thừa số chung không tầm thường. Kết thức
được định nghĩa như một định thức của một ánh xạ tuyến tính giữa hai phân thớ vec tơ trên
.
Biệt thức (discriminant) của đa thức
được định nghĩa như kết thức của
và đạo hàm
. Cho
và
. Biệt thức
là
với
. Nếu gán cho các biến
các giá trị cụ thế trong $\bar k$ sao cho đa thức
có nghiệm
thì biệt thức
sẽ bằng
.
Coi như không gian tham số các đa thức
bậc
với hệ số đầu bằng một, tập các không điểm
là tập các đa thức
có nghiệm bội. Hình học của tập
các không điểm của
là một nguồn cảm hứng cho tô pô. Nếu
là trường số phức, phần bù của
có nhóm cơ bản là nhóm bện (braid group)
và là một không gian
. Nhà toán học người Nga, Vladimir Arnold có viết mấy bào báo rất hay về chủ đề này. Thực ra ông ấy viết rất nhiều chuyện hay ho khác, nhưng bản thân tôi mới chỉ đọc mấy bài về nhóm bện. Xin ngả mũ chào ông.
Trả lời