Thích Học Toán

Chuỗi Fourier (1)

with 7 comments

Sau đây là một chuỗi bài về chuỗi Fourier, chủ yếu lược dịch từ quyển sách của E. Stein “Fourier Analysis”.

Cho {f} là một hàm khả tích trên đoạn {[0,1]} thỏa mãn {f(0)=f(1)}. Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact {{\mathbb R}/{\mathbb Z}}. Chuỗi Fourier của {f} là chuỗi hình thức

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx}

với hệ số thứ {n}

\displaystyle a_n=\hat f(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 i \pi nx} dx.

Với mỗi số tự nhiên {N}, ta xét tổng riêng thứ {N}

\displaystyle S_N(f)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{2 i \pi nx}.

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì {S_N(f)} hội tụ đến {f}? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số {S_N(f)(x)} hội tụ đến {f(x)} với {x\in [0,1]} đã cho.

Ta sẽ xét hai ví dụ: một không hội tụ tuyệt đối, một hội tụ tuyệt đối. Để cho tiện, ta xét hàm {f} trên một đoạn {[a,b]} có độ dài {L}. Chuỗi Fourier của nó sẽ là

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx/L}

với

\displaystyle a_n= \hat f(n)={1\over L}\int_a^b f(x)e^{-2 i \pi nx/L} dx.

    1. Hàm lưỡi cưa. Xét hàm trên đoạn {[-1,1)} cho bởi {f(x)=x}. Nó thác triển thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng {2} mà đồ thị trông như một lưỡi cưa. Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ. Hệ số hằng {\hat f(0)} bằng không trong khi các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

      \displaystyle \begin{array}{rcl} {1\over 2}\int_{-1}^1 x e^{i \pi n x} dx &=& {1\over 2} \left[ {x e^{i \pi n x} \over i \pi n} \right]_{-1}^1 - {1\over 2 i \pi n}\int_{-1}^1 e^{i \pi n x} dx \\ &=& {(-1)^n \over i \pi n} \end{array}

      Chuỗi Fourier

      \displaystyle \sum_{n\not=0} {(-1)^{n+1} \over in} e^{i \pi n x}= 2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {\sin n\pi x \over n}

      không hôi tụ tuyệt đối tại bất kỳ điểm nào của đoạn {[-1,1]}.

    2. Hàm bình phương. Xét hàm trên đoạn {[-1,1]} cho bởi {f(x)=x^2}. Nó thác triển được thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng {2}. Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi, nó cũng khả vị khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ nơi mà đạo hàm của nó có một bước nhảy . Trong chuỗi Fourier , hệ số hằng bằng

      \displaystyle {1\over 2}\int_{-1}^1 x^2 dx= {1\over 3}.

      Các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

      \displaystyle \begin{array}{rcl} {1\over 2} \int_{-1}^1 x^2 e^{i \pi n x} dx &=& {1\over 2} \left[ {x^2 e^{i \pi n x} \over i \pi n} \right]_{-1}^1 - {1\over i \pi n}\int_{-1}^1 x e^{i \pi n x} dx \\ &=& (-1)^n { 2 \over \pi^2 n^2}. \end{array}

      Chuỗi Fourier

      \displaystyle {1 \over 3}+ \sum_{n\not=0} (-1)^n { 2e^{i \pi n x} \over \pi^2 n^2} = {1 \over 3}+ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n 4{\cos n \pi x\over \pi^2 n^2}.

      hội tụ đều và tuyệt đối. Chúng ta sẽ chứng minh sau là chuỗi này hội tụ về {f}. Tính {f(0)} bằng chuỗi Fourier bạn có đẳng thức

      \displaystyle 1 - {1 \over 2^2} + {1\over 3^2} - \cdots = {\pi^2 \over 12} .

      Tính {f(1)} bằng chuỗi Fourier, bạn tìm thấy đẳng thức của Euler

      \displaystyle 1 + {1 \over 2^2} + {1\over 3^2} + \cdots = {\pi^2 \over 6}.

Ví dụ vừa rồi cho thấy sức mạnh của tính chất hội tụ điểm của chuỗi Fourier.

Vậy thì khi nào dãy số {S_N(f)(x)} hội tụ đến {f(x)} với {x\in [0,1]} đã cho. Câu trả lời chung chung, nhưng đáng lưu ý, là tính hội tụ của chuỗi Fourier tại điểm {x} chỉ phụ thuộc vào tính liên tục hay khả vi của hàm {f} tại một lân cận bé tùy ý của điểm {x}. Câu trả lời cụ thể sẽ được phân tích sau.

Advertisements

Written by thichhoctoan

30/01/2012 lúc 22:26

Posted in Toán

Tagged with ,

7 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Công thức đẹp thật. Em vẫn nhớ cảm giác xúc động khi đọc suy nghĩa của Euler làm sao đi đến kết quả là $\sum 1/n^2$ lại bằng $\pi^2/6^$ :D.

    Mèo

    30/01/2012 at 22:57

    • Tôi cũng bị ấn tượng rất mạnh khi đọc lý lẽ của Euler, do Polya kể lại trong cuốn “Toán học và các suy luận có lý”. Phương pháp này không dùng chuỗi Fourier nhưng rất đẹp.

      damtson

      31/01/2012 at 02:02

  2. Tuy em không có giỏi toán nhưng cũng phải công nhận sao mà họ nghĩ đc những công thức đến vậy 😀

    Đỗ Quang Hưng

    31/01/2012 at 14:02

  3. Gặp lại đẳng thức của Euler như gặp bạn cũ. Nhớ hồi học năm 2, mình đã đưa đẳng thức này cho anh bạn học giỏi của lớp, nhỏ tuổi hơn nhưng rất hiếu chiến với Toán, với câu khích tướng “Tui chứng minh cả tuần không được”. Hậu quả là sáng hôm sau bị trách “Anh chơi em”, của anh bạn trong bộ dạng của kẻ “một đêm không ngủ”. Sau 1 đêm vật lộn với nó không xong, anh ta đành giở cẩm nang thời đó là cuốn “Toán học và các suy luận có lý” và biết hết mọi chuyện.

    Chưa thuộc bài kinh nào ra hồn. Fourier lại càng lơ tơ mơ. Chờ các bài giảng của hòa thương và hy vọng rằng mai mốt có thể ê a với học trò.

    Gần đây mới biết chuyện “cơn bão trong cốc thủy tinh”. Mừng là hòa thượng không bị xoáy vào đó.

    Gửi lời thăm Thanh và các cháu.

    55nam

    31/01/2012 at 15:10

    • Sorry. Mình đang chỉnh sửa cái blog 55 năm của Khoa nên còm lấy nick là 55nam.

      dthehieu

      31/01/2012 at 15:24

  4. http://vatinam.blogspot.com
    Chúc bác Châu năm mới nhiều niền vui và không biết em có may mắn được liên kết cùng bác không nhỉ (!?)

    Vatinam +

    01/02/2012 at 08:41

  5. Chào GS, em xin lỗi trước nếu như comment này lạc chủ đề. Gần đây em đang tìm hiểu về phổ của một vành. Em nhớ ngày trước trên blog thichhoctoan, GS có nói rằng SpecZ là một trong những ý tưởng rất táo bạo. GS có thể viết một bài giới thiệu về phần này và các mở rộng của nó được không?

    Em xin cảm ơn.

    prime

    01/02/2012 at 12:33


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: