Thích Học Toán

Kiến bò đi đâu – Nhặt từ blog cũ

with 40 comments

picture-23

Bác Vũ Hà Văn có ra câu đố này, treo bên trang Khoa học máy đếm. Chép lại để các bạn thử cho vui.

Có 10 con kiến trên một que 1 mét. Từng con kiến bắt đầu bò sang trái hoặc phải tùy hỉ, dọc theo que, với tốc độ 1 mét/giờ. Khi hai con kiến đụng đầu nhau chúng sẽ đổi hướng. Khi một con bò đến đầu que thì nó rới xuống đất. Hỏi: khi nào thì tất cả kiến rơi xuống đất?

Tranh minh họa của Escher vẽ kiến không ăn nhập lắm với nội dung bài toán. Trong bài toán, phạm vi hoạt động của các con kiến là một đa tạp một chiều rất tầm thường. Trong hình vẽ, chúng sinh sống trên lá của Mobius. Đây là ví dụ đơn giản nhất của một đa tạp hai chiều không định hướng đươc. Vì không định hướng được, nên các chú kiến của chúng ta cứ bò lổm ngổm mà không biết đâu là trước là sau, đâu là phải là trái. Thôi thì cứ lổm ngổm như vậy còn hơn là rơi tòm vào lỗ đen.

Còn đây là lời giải cho câu đố của bác Văn.

Bác Văn cấp cho mỗi con kiến một cái mũ đánh số từ 1 đến mười. Khi hai con kiến đụng độ nhau, thay vì đổi hướng, hai con kiến sẽ đổi mũ cho nhau. Trong bài toán mới này, hiển nhiên sau một giờ, cả mười con Kiến đều rơi vào mồm bác Văn đã há sẵn. Nếu có đo đạc trước, bác Văn còn có thể há mồm đúng lúc chúng rụng, khỏi bị bệnh há miệng mắc quai. Bài toán này dễ hơn bài cũ vì kiến chỉ đổi mũ, không đổi hướng. Để tìm lại bài cũ, ta chỉ cần xác định hoán vị đổi mũ. Hoán vị này còn được phân tích thành tích của các chuyển vị (transposition) tương ứng với các vụ đụng độ. Độ dài tối đa của một hoán vị là n(n-1)/2 trong trường hợp có n con kiến. Nhưng trong bài toán này, vì có một số kiến đi sang phải, một số đi sang trái, trong mỗi nhóm không chuyển vị với nhau, nên số lần đụng độ tối đa sẽ là n^2/4 nếu số kiến n là chẵn, và (n^2-1)/4 nếu n lẻ. Bác Văn thì không quan tâm lắm đến hoán vị, miễn là cả đàn kiến chui vào mồm là được.

Advertisements

Written by thichhoctoan

06/05/2013 lúc 19:38

Posted in Toán

40 phản hồi

Subscribe to comments with RSS.

  1. Giữa toán và ẩm thực có duyên phận gì chăng ?

    Mt

    07/05/2013 at 09:00

  2. Bài toán này, có vẻ quá dễ.

    Quá dễ, vì chưa có nghiên cứu về tổ chức xã hội, cùng các tư tưởng, tập tục của các kiến nhân.

    Ví dụ cả đàn kiến chợt được lệnh : không đi đâu hết.

    hmhoang

    07/05/2013 at 13:01

    • Đôi lúc K cũng muốn bò sang sân chùa anh Châu chơi, nhưng sợ Cụ ở chùa bên kia la…Cụ giận là sẽ mắng K cứ say tệ mãi nên bò đi lung tung.

      k

      28/05/2013 at 19:29

  3. Nếu là loài kiến giải bài này, có vẻ là quá dễ, vì nó có thể bất chợt truyền lệnh “không đi đâu hết” cho đàn kiến, đàn kiến hiểu.

    Ở đây là người, là bác Văn giải toán, bác nói với kiến sao đây để kiến hiểu?

    Quốc Minh

    07/05/2013 at 16:09

  4. Dù hiểu hay ko thì kiến cũng phải “đợi” ! Mà cái này Phụ huynh V.Q.P có 2 câu rất hay:
    “Đợi 1 ngày lạ thành quen
    Đợi 1 đời quen thành lạ” !
    Bây giờ vẫn “đợi” đấy ! Đúng ko ạ ? Có thấy lạ ko ạ ?

    Mt

    08/05/2013 at 03:10

  5. Bệnh nhân chết là Bác Sĩ Người ta cũng sốc đấy chứ không phải là thờ ơ đâu…;))-Sao giáo sư Châu không làm Bác Sĩ…?

    lethiminhhai

    08/05/2013 at 14:54

  6. Sao Giáo Sư không viết Ai và Ky phần 2 ?

    lethiminhhai

    08/05/2013 at 14:58

  7. “KHÔNG AI THÈM” (nhé) …vào comment nữa à? EM cầu xin giáo sư viết tiếp Ai và Ky phần 2 =>Có Bóng-Bánh cho trẻ con tung hứng…
    -Tự dưng Avarta bị hình gì nhìn kỳ – ngộ qué (quá)…

    lethiminhhai

    09/05/2013 at 22:27

  8. Chuyện rằng, có kẻ đến chửi mắng, xúc phạm đức Phât, mãi ngài vẫn lặng im, mệt rùi bèn hỏi:
    – Sao tôi mắng chửi thế mà ông lặng im ?
    – Ngươi mang món đồ cho người khác, họ ko nhận thì người có mang về ko ?
    Kẻ đó xấu hổ bỏ đi.
    lethiminhai chắc ko xấu hổ bỏ đi đâu ! ho ho . . .

    Mt

    10/05/2013 at 03:46

    • Chẳng hiểu mấy người nói gì…đấy là nói đùa…ai xúc phạm đức phật? mà ai là đức phật?…
      -Mt vừa hâm,vừa khùng, vừa điên…Mt đang ho đấy à…lần sau thì nhớ là phải viết cho đủ dấu HÔ HÔ…nhé, ngốc thế không biết…;))

      lethiminhhai

      10/05/2013 at 07:52

      • Thật Mừng lethiminhhai ko bỏ đi !
        Phật ở tâm mình, lethiminhhai ko có Phật trong tâm cũng ko sao – vi như thế các nhận định của bạn với Mt là: “chính xác” ! hề hề . .(có dấu nhé ? Ngốc thì vẫn thế thôi, xin nhận !)
        Vui vẻ weekend nhỉ ! ?

        Mt

        10/05/2013 at 08:09

      • – “vì như thế” là “vi như thế”…Mt=Mặt trời ?=Mặt trăng?=Mặt tròn?=Mũi to?=Mờ tê? =)))

        lethiminhhai

        10/05/2013 at 09:04

  9. Thế bác Mt lại nói ai xấu hổ bỏ đi đấy ?

    lan huong

    10/05/2013 at 06:33

  10. CH cứ bảo em phải viết bài chung với bác Mt, chứ làm thế thì thế nào cũng có bạn bươu đầu sứt trán !

    lan huong

    10/05/2013 at 06:55

    • “Tay áo phù dâu đẹp hơn tay áo cô dâu” lan hương ạ !

      Mt

      10/05/2013 at 07:22

  11. Kiến bò đi đâu? Kiến bò đi chơi. 😀 😀

    Quốc Minh

    10/05/2013 at 13:05

  12. thich 😀

    Minh Quý

    18/05/2013 at 14:10

  13. Bài nói trên là “Bác Văn một chiều”. Đố thầy THT làm bài “Bác Văn 2 chiều” sau: Tại tâm của một số ô trong bảngi ô vuông đơn vị m x m ta đặt một con kiến. Các con kiến bắt đầu đi với tốc độ đều 1 đơn vi/ giờ. Nếu có hơn 2 con gặp nhau cùng lúc, hoặc 2 con đi theo hai hướng vuông góc gặp nhau thì chúng cứ tiếp tục đi theo hướng cũ. Nếu có đúng 2 con đi từ hai hướng ngược nhau gặp nhau thì mỗi con đều quay 90 độ sang phải rồi tiếp tục đi. Con nào chạm cạnh của bảng thì rơi vào …bác Văn. Hỏi bác Văn có thể chờ để chén hết kiến không? Nếu chờ được thì thời gian chờ lâu nhất là bao nhiêu?

    hahuykhoai

    19/05/2013 at 23:49

    • Hình như chiếu xuống đường chéo thì qui về được bài toán “bác Văn một chiều”, bác Khoái vô hạn chiều thấy có đúng không ạ?

      thichhoctoan

      22/05/2013 at 01:49

      • Mấu chốt của lời giải vẫn như bài toán một chiều: không quan tâm số phận từng con kiến (“con ong cái kiến” ấy mà!), mà chỉ quan tâm “tuổi thọ” cả đàn kiến. Do đó không quan trọng gì việc khi gặp nhau con nào rẽ phải con nào rẽ trái, chỉ cần chúng “rẽ” là được. Như vậy có thể xem lũ kiến được chia thành hai loại: luôn đi theo hướng Đông và Bắc, hoặc Tây và Nam. Tất nhiên sau hữu hạn giờ cả lũ đều rơi vào bác Văn. Hơn nữa, tại mỗi thời điểm t, có thể chỉ ra bốn hình tam giác cân ở bốn góc (tọa độ phụ thuộc t) không có con kiến nào. Từ đó tính được miền “có đối đầu”. Tuổi thọ của đàn phụ thuộc vị trí lần đối đầu cuối cùng. Phép tính đơn giản (tìm maximum của hàm khá đơn gản theo t) cho kết quả 3m/2 – 1 (không phụ thuộc có bao nhiêu kiến).

        hahuykhoai

        22/05/2013 at 02:40

  14. Biết chuyền sao nữa khi CH gác kiếm rồi.
    Cũng là một lần đối mặt với bản ngã, ai dám nói mình có thể vượt qua – là một chuyện.
    Nước Cộng hòa Việt đáng phải được thiết lập ngay sau “thế chiến”, chứ không phải thảo luận tới tận thời điểm này. Không tuân thủ luật lệ chính mình đặt ra cho cuộc chơi, là chuyện đáng lên án, và là nguyên nhân lớn để bài chuyền không thể nên đầu nên đũa.
    Trong thế giới của những trí thức ưu tú, bản thân QM tuân thủ luật, QM có quyền được đòi hỏi điều đó lắm chứ. Lấy đi mất tự do của một người không còn phải là chuyện “tạm đủ” nữa.
    Xin chúc CH an vui.
    Xin chúc GS nhiều sức khỏe, thành công hơn nữa, góp sức thật nhiều cho sự phát triển và phồn vinh của đất nước.

    Quốc Minh

    21/05/2013 at 08:43

  15. “Tôi rất biết đây là việc khó, nhưng dù Quí vị muốn hay không muốn, nhân dân đã đặt niềm tin lên vai của Quí vị”.
    Quốc Minh xin lỗi GS Ngô Bảo Châu, vì sự ra đi vội vàng của mình!

    Quốc Minh

    23/05/2013 at 03:22

  16. Nhân bài viết này của Giáo sư, em cũng xin phép có một bài toán như sau:
    Có 11×24 + 12×24 chú kiến bắt đầu dịch chuyển trên các cung tròn của một lưới cầu được tạo nên bởi sự giao nhau của các đường kinh tuyến và vĩ tuyến của trái đất. Các chú kiến có khối lượng như nhau và có vận tốc dịch chuyển cũng như nhau trên lưới cầu. Lưới cầu lại được đặt trong hơi thở của nàng gió để các chú kiến đi đường được thoải mái và vui vẻ. Khi gặp nhau trong lúc dịch chuyển, các chú kiến tuân theo định luật bảo toàn động lượng, cụ thể như sau:
    Nếu 2 chú kiến đối đầu gặp nhau thì chúng sẽ quay đầu ngược trở lại.
    Nếu 2 chú kiến gặp nhau theo 2 hướng không đối đầu thì chúng sẽ đổi hướng cho nhau, hướng mới của chú kiến này sẽ là hướng đi tới lúc chưa gặp nhau của chú kiến kia.
    Nếu 3 chú kiến gặp nhau thì 2 chú đối đầu sẽ quay đầu ngược trở lại, chú kiến còn lại tiếp tục dịch chuyển như cũ.
    Nếu 4 chú kiến gặp nhau thì từng cặp đối đầu sẽ quay đầu ngược trở lại.
    Riêng tại 2 điểm cực của lưới cầu, nếu chỉ có 2 chú kiến gặp nhau thì định luật bảo toàn động lượng vẫn được giữ vững, nhưng nếu như có nhiều hơn 2 chú kiến gặp nhau thì do bị choáng vì có quá nhiều đường nên các chú kiến mềm chân và bị nàng gió thổi bay đi mất :D. Hỏi:
    Có tồn tại hay không khả năng mọi chú kiến đều đi qua hết mọi nẻo đường trên lưới cầu mà không chú kiến nào bị nàng gió thổi bay đi mất ?
    Đánh giá về khả năng tất cả các chú kiến đều đi qua hết mọi nẻo đường trên lưới cầu trước khi rủ nhau gặp gỡ tại các điểm cực để di dạo chơi cùng nàng gió ?

    Neva

    23/05/2013 at 08:55

  17. Trong bài toán “bác Văn một chiều”, QM thích thủ thuật cho kiến đội mũ và đánh số, sau đó là phép xác định hoán vị đổi mũ. Hóa ra, giải quyêt đổi hướng trong toán học cũng khó, và cần thông minh là vậy.

    Quốc Minh

    24/05/2013 at 02:47

  18. Giờ đây em rất muốn lặng yên để nghe những bản nhạc như ở trên hoặc như ở bài hát này mà em vẫn thường nghe. Các anh đừng giận em nhé!

    Xuka

    26/05/2013 at 12:10

    • …”Sông còn nhớ chăng nơi ta ngồi ngóng mẹ
      Vời vời tuổi thơ một xu bánh đa vừng”…
      là những điều duy nhất, không cần phải bàn luận, ta có thể cùng đồng cảm!

      Trong thơ ca, ca từ và giai điệu là những yếu tố chính mang lại cảm xúc cho người cảm thụ, và chính vì lẽ đó nó là một trong những món ăn giàu có cho tâm hồn.
      Mà sao ở đây, lại dường như là sự im lặng, nó có ý nghĩa gi không?
      Có những giá trị tâm linh, trong dòng suối chảy vô hình của tư duy, mà chỉ trong im lặng, tâm linh ta như mới được thức tỉnh. Những nguồn suối mạch tư duy ấy truyền cho con người luồng gió mới mát mẻ, đầy sinh lực, như thể họ mới lại được hồi sinh, được sống một cuộc đời khác lạ hoàn toàn. Đó là khi tâm ta thức tỉnh.

      Theo các blogger, ngoài lĩnh hội các thông tin có thể tìm thấy không khó khăn trên các kênh thông tin đại chúng, chính là để linh cảm thấy, để tiếp cân được với mạch suối nguồn tư duy lên lỏi ấy của các blogger, mà có lẽ chính nhờ thế mà họ có được sự khác biệt, nhờ đó mà ánh sáng và tinh túy từ họ được thawps sáng và khai tỏa, ngay cả khi tưởng chừng như bị chìm nghỉm trong màn đêm.

      Mong lắm chứ gặp lại bãi cát đời người ngày nào, nơi đã từng là quen thuộc!

      Quốc Minh

      05/06/2013 at 09:06

      • Thế QM lại giới thiệu vài bản nhạc cho mọi người nghe đi ! Mình cũng tò mò không hiểu làm sao nhạc sĩ họ nhớ được rất nhiều bản nhạc ứng với tên của chúng nhỉ ? Nếu họ chỉ nhớ nhạc mà không nhớ tên bản nhạc thì đâu có tìm ra được nó ở trên internet, đúng không ? Có cách nào khác tìm ra nó được không nhỉ ?

        thilan

        05/06/2013 at 16:37

      • Mình cũng là dân thưởng thức amateur thôi, chứ chuyên nghiệp thì phải xem chương trình “Trò chơi âm nhạc” Lan Hương sẽ thấy họ chẳng chỉ nhớ tên, lời, họ nhớ tất tật các thông tin liên quan khác: nhạc sĩ, năm nào, CD nào…

        Có những bản nhạc,khi xếp đặt trong dòng tư duy, nó không được ghi nhận bằng tên nữa, cũng không còn phải là giai điệu, hay phong cách biểu diễn :), mà có lẽ là ý tưởng đề cập tới,vì cảm xúc là thứ có thể thay đổi và điều chỉnh mà.

        Nghe lại nhé, Lan Hương dịch nhé

        Quốc Minh

        09/06/2013 at 00:55

      • Biết Lan Hương tâm trạng thế nào mà giới thiệu cho phù hợp bây giờ!?
        Nghe bản này thư giãn nhé, cuối tuần vui vẻ nha, 🙂

        Quốc Minh

        16/06/2013 at 05:07

      • Thanks QM! Tâm trạng mình cũng êm đềm, như bản Toccata này. Còn bài hát của G. Moustaki, thì nó buồn lắm đấy, QM có muốn mình dịch thật không ?

        LH

        16/06/2013 at 20:12

      • Mình muốn LH dịch thật mà, để có thể cảm nhận thêm về nó.
        Các bản nhạc buồn thường là hay, người nào cùng tâm trạng mà nghe nó, đã đang chìm thì chìm hẳn xuống đáy luôn.

        Quốc Minh

        17/06/2013 at 13:22

      • Mình dịch rồi đấy, QM thấy chưa ?

        Dịch G. Moustaki cũng khó như dịch Sei Shonagon ấy, tìm mãi mà không thấy từ ưng ý, lời ưng ý.

        Mùa hè năm trước mình cùng vài người bạn đi chơi Paris. Đi bộ từ cung Richelieu sang điện Louvre, đột nhiên nghe tiếng nhạc khiến mình muốn bay bổng lên khỏi mặt đất. Đến một ngã tư nhỏ có cây cối xanh tươi thì thấy có một dàn nhạc 12 người đang chơi, cả già lẫn trẻ, nghe nói họ là thầy trò ở Nhạc viện, nhưng họ cũng lấy tiền như những người chơi đàn xin tiền ấy, lấy cả những đồng xu nhỏ. Mình hỏi thì được biết là họ chơi một bản nhạc của Haendel, nhưng mình không nhớ tên nữa. Họ cứ chơi hoài hết bản này sang bản khác. Cảm giác lúc ấy cứ như ở trên thiên đường ấy, đi tiếp mà lòng cứ vương vấn mãi.

        Nghe nhạc có buồn đến mấy thì trong lòng cũng không thấy đau khổ, đúng không ?

        Nghĩ vậy lại muốn đi xin tiền Viện toán để trả cho bên Nhạc viện, để thỉnh thoảng họ chơi cho mọi người nghe như vậy nhỉ.

        LH

        18/06/2013 at 15:26

      • À tìm ra rồi này :

        Nhưng mà mình cảm tưởng như dàn nhạc kia họ chơi nhẹ nhàng bay bổng hơn.

        LH

        18/06/2013 at 17:10

      • Chuyển sát hết được tinh thần một bản nhạc sang ngôn ngữ khác thì quả là khó rồi.

        Bản nhạc LH giới thiệu thật nhẹ nhàng, cảm ơn nhé!
        Với nhạc cổ điển, cả với những bản trữ tình đượm buồn nhất, nhạc cổ điển cũng không nhấn chìm mình,mình như tìm thấy được cả sự đồng cảm lẫn sự nâng đỡ ở đó nữa,do sự giàu có về hình tượng âm nhạc và sự sâu sắc về ý tưởng của nó chăng. Nhiều khi tìm thấy được bản nhạc ưa thích thì cảm nhận đươc đầy đủ y như ở một người tri kỉ vậy.

        Còn LH nghe năm ngoái trên đường phố Paris hay hơn, cũng có thể do ban nhạc chơi hợp gu hơn, cũng có thể do hiệu ứng âm thanh ngoài đường phố làm mình như cảm nhận bản nhạc hay hơn, hay cũng có thể tâm trạng LH hôm ấy bay bổng hơn 🙂 , cảm nhận âm nhạc với người nghiệp dư phụ thuộc tâm trạng nhiều mà.

        Mình nói chuyện âm nhạc thế này, người chuyên nghiệp có nghe thấy không Lan Hương nhỉ? Mà thế giới này có là thế giới phẳng không nhỉ?

        Quốc Minh

        19/06/2013 at 16:00

  19. Nhưng mà QM vẫn không trả lời là QM đã đọc bản dịch của mình chưa, không chừng QM lại không biết nó ở đâu cũng nên. Nếu vậy thì mình cũng chưa biết làm thế nào để nói cho QM được, vì mình cũng không muốn mọi người biết, mình cũng nhiều kẻ thù lắm ! 🙂

    Còn nếu QM biết rồi, thì mời QM sang bên ấy chúng mình nói chuyện đi, thoải mái hơn ! Thực ra mình không nghĩ là dân chuyên nghiệp cảm nhận tốt hơn dân nghiệp dư đâu, mỗi ngành có cái khó của nó. Bên ngành mình, thì phải liên tục tìm ý mới, chứ không thể nhai đi nhai lại như các bạn viết mấy bài báo vặt kiếm tiền được. Nhưng mà ý mới ở đâu ra ? Thì ở người khác chứ còn sao nữa ! Không chỉ trong sách đâu, mà trong đời nữa, thậm chí những ý tưởng thu được trực tiếp từ người khác như vậy, nhất là những người “amateurs” nó còn sống động, ấm áp hơn. Ví dụ nghe một bà cụ già nhiếc ai đấy thì sướng cả tai, buồn cười kinh khủng (nếu mình không phải là người bị nhiếc !!)

    Còn mình không rõ lắm thế giới phẳng là gì nhưng nghe QM hỏi thế thì mình nghĩ ngay là nó không phẳng, hihi. Bây giờ, nếu QM không biết nhà mình ở đâu, thì có thể mail hỏi HHM ở bên nuocdenchan, mình cho phép CH trả lời đấy, nhưng Cụ ấy vui thì Cụ ấy giúp mà buồn thì mặc kệ mình, thì lúc ấy mình lại tìm cách khác.

    LH

    25/06/2013 at 14:48

    • Mình cũng cho rằng chuyên nghiệp mặc dù có nhiều ưu thế để cảm nhận âm nhạc tốt hơn nghiệp dư nhưng không hẳn lúc nào cũng vậy, vì “dọn không gian” cho âm nhạc thì không chỉ là vấn đề chuyên môn.

      Chuyện tìm nhà có vẻ phức tạp nhỉ,
      Viết mail chỉ để hỏi mỗi địa chỉ nhà thì phiền quá, hihi.
      Cách khác là cách nào? mà LH dịch bài đó có khóc nhiều không vậy? 🙂

      Quốc Minh

      29/06/2013 at 04:34

    • Chửi theo kiểu bà già bị mất gà Kiều cũng rất thích nghe.
      Biết đâu bà không mất gà nhưng khi đang đứng trước sân nhà mình để chửi thì có tay ăn trộm đang rình con heo sau nhà của bà, thì những lời chửi cũng có giá trị luôn.
      ,-))

      k

      29/06/2013 at 11:15

    • Khóc nhiều quá sợ ảnh hưởng tới nhan sắc, mà nghe nói còn có thể bị viêm tuyến lệ nữa ! 🙂

      QM thử cách thứ 2 nhé : QM mail cho Kieu (tìm địa chỉ mail của nàng trong comment bên nuocdenchan, mau mau kẻo CH xóa mất). Nàng rất dễ thương, chắc là sẽ forward cho mình mà không nhìn xem QM viết gì ở trỏng đâu !! Rồi mình sẽ trả lời.

      Cách thứ 3 : nhà QM có ở gần biển không ? Mùa hè này mình đi ra biển, sẽ viết một tờ giấy, bỏ vào cái chai, thả xuống biển, may ra QM nhận được chăng ?

      Còn nếu không thì QM sẽ không bao giờ biết G. Moustaki hát gì cả (Google dịch kỳ lắm).

      LH

      05/07/2013 at 07:58

    • Cảm ơn LH đã gắng tìm cách để mình có được không gian riêng thoải mái chuyện trò về lời bản nhạc!
      Mình thì nghĩ, một nơi nghe nhạc lí tưởng là nơi yên bình, có không gian mênh mang mà ấm áp, có thêm bạn hữu thưởng lãm cùng nữa thì thật là tuyệt vời, không nhất thiết phải là nơi kín đáo ấm áp tại nhà riêng của mình. Do vậy LH đừng phải bận tâm nhiều, nếu như LH không tiện cho mình biết địa chỉ.

      Nơi đây, bọn mình đã có khá nhiều thời gian để cùng tìm đến và nghe các bản nhạc hay, như bản với G. Moustaki chẳng hạn, dù không được biết thêm lời, thế cũng đã là nhiều, mà thât là nhiều kể từ lần nói chuyện ngày nào xa xôi với LH tới tận bây giờ, chắc LH còn nhớ.
      Thế giới văn minh đã mang lại cho con người nhiều cơ hội để hòa nhập, để phá bỏ các biên giới hữu hình/ hay vô hình, để tìm đến với tự do, dân chủ, bình đẳng, bác ái.
      QM cảm ơn GS Ngô Bảo Châu, dù quá nhiều bôn rộn cũng đã giành cho blog một thời lượng âm nhạc lớn 🙂 .QM chúc GS thật nhiều sức khỏe, thường xuyên post bài, đặc biệt các bản nhạc hay để mọi người có cơ hội cùng tới suy ngẫm và thưởng lãm.

      Quốc Minh

      07/07/2013 at 05:53


Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: